関数の基本知識
関数とは何か
時間と水の量の関係の図

3 l の水が入っている水槽の中に毎分 2 l の割合で水を入れたとする。
水を入れてから経過した時間がx分とすると、水槽の中の水の量 y l は y=2x+3 と計算することができる。
辺の長さと面積の関係

また、正方形の一辺の長さを x cm とすると、その面積 y cm2 は y=x2 と計算することができる。
このように、「x の値を決めるとそれに応じて y の値がただ1つだけ決まる」とき、y は x の関数 (function) であるという。
関数を説明する図

y が x の関数であるということを、一般的に y=f(x) などと表す。関数 y=f(x) において、x の値が a であるとき、対応する y の値を f(a) で表し f(a) を x=a のときの関数 f(x) の値という。
たとえば、f(x)=2x2−3x+4 のとき f(1)=2⋅12−3⋅1+4=3 f(a)=2⋅a2−3⋅a+4=2a2−3a+4 である。
関数をグラフで表すということ
関数のグラフ

平面上に数直線を2本、直交するようにとると、その平面上の点 P の位置は、右図のように実数の組 (a, b) で表すことができる。この組 (a,b) を点 P の座標 (coordinates) といい、P(a, b) と書く。
この直交する数直線のことを座標軸 (coordinateaxes) といい、座標軸の定められた平面を座標平面 (coordinateplane) という。
象限の位置の図

座標平面は、座標軸によって4つの部分に分けられる。これらを下図のように、それぞれ
- x>0、y>0 :第一
象限 (firstquadrant) - x<0、y>0 :第二象限 (secondquadrant)
- x<0、y<0 :第三象限 (thirdquadrant)
- x>0、y<0 :第四象限 (fourthquadrant)
次に、関数 y=f(x) を座標平面に図示することを考えよう。
たとえば、関数 y=x+2 を図示するには、y=x+2 を満たす値の組 (x, y) を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。
同様に、関数 y=x2 を図示するには、y=x2 を満たす値の組 (x, y) を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。
一般に、関数 y=f(x) において、x の値とそれに対応する y の値の組 (x, y) を座標とする点全体の作る座標平面上の図形を、関数 y=f(x) のグラフ (graph) という。
例1)y=x+2のグラフ

例2)y=x2のグラフ

定義域とは何か
数 y=f(x) において、x のとる値の範囲を、この関数の定義域 (domain) という。定義域をはっきりと示す場合には、関数とともに y=f(x)(a≦ などと書く。
y=x+2の定義域の図

たとえば、関数 y=x+2 において、x のとる値の範囲、すなわち定義域を -1\leqq x\leqq3 とするとき y=x+2(-1\leqq x\leqq3) と表す。ただし、関数においてその定義域が特に示されていない場合には、その関数が意味を持つ範囲ですべての x の値を考える。たとえば y=x+2 とだけ書かれていた場合には、定義域はすべての実数であり、また y=\dfrac{1}{x} とだけ書かれていた場合には、0 での除法は意味をなさないので,定義域は 0 以外のすべての実数である。
値域と最大値・最小値
関数 y=f(x) において、x が定義域すべての値をとるときの y のとる値の範囲を、この関数の値域 (range) という。
定義域と値域の関係の図

たとえば、関数 y=x+2(-1\leqq x\leqq3) の値域は、右のグラフからわかるように 1\leqq y\leqq5 となる。
このように、関数において、その値域に最も大きい値があるとき、その値をこの関数の最大値 (maximumvalue) といい、その値域に最も小さい値があるとき、その値をこの関数の最小値 (minimumvalue) という。