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関数の基本知識

関数とは何か

時間と水の量の関係の図

時間と水の量の関係の図

3 l の水が入っている水槽の中に毎分 2 l の割合で水を入れたとする。

水を入れてから経過した時間がx分とすると、水槽の中の水の量 y ly=2x+3 と計算することができる。

辺の長さと面積の関係

辺の長さと面積の関係

また、正方形の一辺の長さを x cm とすると、その面積 y cm2y=x2 と計算することができる。

このように、「x の値を決めるとそれに応じて y の値がただ1つだけ決まる」とき、yx関数 (function) であるという。

関数を説明する図

関数を説明する図

yx の関数であるということを、一般的に y=f(x) などと表す。関数 y=f(x) において、x の値が a であるとき、対応する y の値を f(a) で表し f(a)x=a のときの関数 f(x) の値という。

たとえば、f(x)=2x23x+4 のとき f(1)=21231+4=3 f(a)=2a23a+4=2a23a+4 である。

関数をグラフで表すということ

関数のグラフ

関数のグラフ

平面上に数直線を2本、直交するようにとると、その平面上の点 P の位置は、右図のように実数の組 (a, b) で表すことができる。この組 (a,b) を点 P座標 (coordinates) といい、P(a, b) と書く。

この直交する数直線のことを座標軸 (coordinateaxes) といい、座標軸の定められた平面を座標平面 (coordinateplane) という。

象限の位置の図

象限の位置の図

座標平面は、座標軸によって4つの部分に分けられる。これらを下図のように、それぞれ

x>0y>0第一象限しょうげん (firstquadrant)
x<0y>0第二象限 (secondquadrant)
x<0y<0第三象限 (thirdquadrant)
x>0y<0第四象限 (fourthquadrant)
という(座標軸はどの象限にも含めない)。

次に、関数 y=f(x) を座標平面に図示することを考えよう。

たとえば、関数 y=x+2 を図示するには、y=x+2 を満たす値の組 (x, y) を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

同様に、関数 y=x2 を図示するには、y=x2 を満たす値の組 (x, y) を座標として座標平面上に点を打っていけばよい。

一般に、関数 y=f(x) において、x の値とそれに対応する y の値の組 (x, y) を座標とする点全体の作る座標平面上の図形を、関数 y=f(x)グラフ (graph) という。

例1)y=x+2のグラフ

例1)$y=x+2$のグラフ

例2)y=x2のグラフ

例2)$y= x^2$のグラフ

定義域とは何か

y=f(x) において、x のとる値の範囲を、この関数の定義域 (domain) という。定義域をはっきりと示す場合には、関数とともに y=f(x)(a などと書く。

y=x+2の定義域の図

$y=x+2$の定義域の図

たとえば、関数 y=x+2 において、x のとる値の範囲、すなわち定義域を -1\leqq x\leqq3 とするとき y=x+2(-1\leqq x\leqq3) と表す。ただし、関数においてその定義域が特に示されていない場合には、その関数が意味を持つ範囲ですべての x の値を考える。たとえば y=x+2 とだけ書かれていた場合には、定義域はすべての実数であり、また y=\dfrac{1}{x} とだけ書かれていた場合には、0 での除法は意味をなさないので,定義域は 0 以外のすべての実数である。

値域と最大値・最小値

関数 y=f(x) において、x が定義域すべての値をとるときの y のとる値の範囲を、この関数の値域 (range) という。

定義域と値域の関係の図

定義域と値域の関係の図

たとえば、関数 y=x+2(-1\leqq x\leqq3) の値域は、右のグラフからわかるように 1\leqq y\leqq5 となる。

このように、関数において、その値域に最も大きい値があるとき、その値をこの関数の最大値 (maximumvalue) といい、その値域に最も小さい値があるとき、その値をこの関数の最小値 (minimumvalue) という。