否定の真理集合

条件の否定

条件 $p(x)$ に対して

「 $p(x)$ ではない」

という主張は条件となり、条件 $p(x)$ の否定という。

条件 $p(x)$ の否定は、記号 $\overline{p(x)}$ で表すこともある。

いま、ある条件 $p(x)$ において、 $x$ のとり得る範囲を考え、それを全体集合 $U$ とし、命題 $p(a)~\left(a{\in}U\right)$ が真となるような要素 $a$ の集合、つまり条件 $p(x)$ の真理集合を $P$ とする。

命題の否定でみたように、命題 $p(a)$ が偽のときに命題 $\overline{p(a)}$ は真になるので、条件 $\overline{p(x)}$ の真理集合は $P$ の補集合 $\overline{P}$ となる。

$x,y$ は実数とする。次の条件の否定を答えよ。

「 $x$ は $1$ である」の否定は「 $x$ は $1$ ではない」、よって $\boldsymbol{x\neq{1}}$
「 $x$ は $-2$ 以上である」の否定は「 $x$ は $-2$ 以上ではない」、つまり「 $x$ は $-2$ より小さい」、よって $\boldsymbol{x\lt-2}$
「 $x$ と $y$ を足したものは $0$ より大きい」の否定は「 $x$ と $y$ を足したものは $0$ より大きくはない」、つまり「 $x$ と $y$ を足したものは $0$ 以下である」、よって $\boldsymbol{x+y\leqq0}$
「 $x$ は無理数である」の否定は「 $x$ は無理数ではない」、つまり
$\blacktriangleleft$ 無理数とは「有理数ではない数」、有理数とは「整数 $a$ と $0$ でない整数 $b$ によって $\dfrac{a}{b}$ の形で表せる数」である
「 $x$ は有理数である」