写像とは何か

ここでは、集合と集合の対応を調べることによって、写像や関数という考え方を学んでいこう。

このことを「集合」を用いて表すことを考えよう。

まず、向かう駅の集合 $A$ を \[A=\{渋谷,新宿,横浜,仙台,大阪,博多,札幌\}\] とし、料金の集合 $B$ を \[B=\{190,450,5780,8510,13440,14070\}\] とする。

写像を表す図

このように集合 $A$、$B$ を作ると、図のように $A$ の各要素に $B$ の要素が1つずつ対応する。

一般に、2つの集合 $A$、$B$ において、ある規則によって $A$ のどの要素にも、$B$ の要素が1つずつ対応しているとき、この規則を $A$ から $B$ への写像 (mapping) といい、記号 $f$ などを用いて \[\boldsymbol{f:A\longrightarrow{B}}\] と書く。

写像 $f:A\longrightarrow{B}$ において、集合 $A$ を $f$ の定義域 (domain of definition) という。

また、写像 $f:A\longrightarrow{B}$ によって、$A$ の要素 $a$ に対応する $B$ の要素を $f(a)$ と書き、これを $f$ による $a$ の像 (image)、または $f$ の $a$ における値 (value) という。

さらに、この像（値）全体の集合 \[\{f(a)|a\in{A}\}\] を写像 $f$ の値域 (range) という。

先程の例でいうなら、定義域は \[A=\{渋谷,新宿,横浜,仙台,大阪,博多,札幌\}\] であり、値域は \[B=\{190,450,5780,8510,13440,14070\}\] である。

また、この対応を与えている規則 $f$ による「横浜」の像、つまり $f(横浜)$ は、$450$ である。