余弦定理

第1余弦定理

図のような三角形の2つの角と2辺の長さの間に次の関係式が成り立つ。

\[c=b\cos{A}+a\cos{B}\] これを、第1余弦定理 (first cosine theorem) という。

この式が成り立つことを、$A$ が鋭角、直角、鈍角の場合に分けて、以下に見ていこう。

1. $A$ が鋭角のとき

   

   線分 $\text{AB}$ 上に、図のように垂線 $\text{CH}$ をひくと \begin{align} &b\cos{A}+a\cos{B}\\ =&\text{AH}+\text{BH}\\ =&\text{AB}=c \end{align} となり成立。

2. $A$ が直角のとき

   

   $A=90^\circ$ より、$\cos{A}=0$ となるので \begin{align} &b\overbrace{\cos{A}}^{0}+a\cos{B}\\ =&a\cos{B}\\ =&c \end{align} となり成立。

吹き出し第1余弦定理

第1余弦定理のイメージ

この定理は、ある角から見たときに左右2つの辺を向かいの辺に押しつぶす感じで覚えると良い。

第2余弦定理（余弦定理）

三角形の1つの角と3辺の長さの間に次の関係式が成り立つ。 \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\theta\] これを、第2余弦定理 (second cosine thorem) といい、単に余弦定理 (cosine thorem) というときにはこちらを指す。

この式が成り立つことを、$A$ が鋭角、直角、鈍角の場合に分けて、以下に見ていこう。

1. $A$ が鋭角のとき

   

   図のように、線分 $\text{AB}$ 上に垂線 $\text{CH}$ をひき、$\triangle\text{BCH}$ に三平方の定理を用いると \begin{align} &a^2=\text{BC}^2=\text{CH}^2+\text{BH}^2\\ =&\left(b\sin{A}\right)^2+\left(c-b\cos{A}\right)^2\\ =&b^2\sin^2{A}+c^2-2bc\cos{A}+b^2\cos^2{A}\\ =&b^2(\sin^2{A}+\cos^2{A})+c^2-2bc\cos{A}\\ =&b^2+c^2-2bc\cos{A} \end{align} となり成立。

2. $A$ が直角のとき

   

   $A=90^\circ$ より、$\cos{A}=0$ となるので \begin{align} &a^2=\text{BC}^2=\text{CA}^2+\text{AB}^2\\ =&b^2+c^2\\ =&b^2+c^2-2bc\underbrace{\cos{A}}_{0} \end{align} となり成立。

吹き出し第2余弦定理（余弦定理）

余弦定理の主な使い方は、$a^2=b^2+c^2-2bc\cos{A}$ などの関係式から、辺の長さや角度を求めることである。余弦定理は3辺と1角について成り立つ関係式であることに注意しよう。たとえば、2つの辺と1つの角がわかれば、この 関係式からもう1つの辺の長さが計算できるという具合である。

$\triangle\text{ABC}$ の3辺の長さ $a,b,c$ がわかっているとき、$\angle\text{A}$ の大きさは、余弦定理を変形した \[\cos{A}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\] から求めることができる。