数学I 第4章論理と集合 — 条件と真理集合

「 $1$ は $2$ より小さい」(真)のような、単発の命題ではなく、「 $x$ は $2$ より小さい」のように、 $x$ の値が決まって初めて真か偽かが決まる、いわば“穴の空いた命題”をここでは考える。

条件と真理集合について

条件とは何か

例えば、ある数 $x$ を含む事柄 $p(x)$ を「 $2x²-7x+3$ の値は $0$ である」、つまり $p(x):2x²-7x+3=0$ としてみよう。

$x$ の値が決まらないと、 $p(x)$ の真偽も決まらないので、 $p(x)$ は命題ではない。しかし、例えば $x$ に $1$ を代入したもの、つまり $p(1)$ は $「である」 p(1):「2・1²-7・1+3-2=0である」$ となり偽と決まるので命題である。また、 $x$ に $3$ を代入したもの、つまり $p(3)$ は $「である」 p(3):「2・3²-7・3+30=0である」$ となり真と決まるので、これもやはり命題である。このように

定理1変数・条件

$x$ の内容が決まれば命題となる事柄 $p(x)$ のことを、 $x$ を変数 (variable)とする条件 (condition)という。

変数は1つとは限らず、複数ある場合もある。例えば $「はより大きい数である」 p(x,y):「xはyより大きい数である」$ は、2つの変数 $x,y$ が確定して初めて命題となる。以下では、簡単のため、変数が1つの条件について説明していくが、変数がいくつかある条件でも基本的には同じである。

真理集合とは何か

条件を考える場合には、その条件がもつ変数のとりうる範囲を、全体集合（全体集合と補集合参照）としてあらかじめ決めておく必要がある。このもとで、次のような集合を定義する。

定義2真理集合

全体集合を $U$ とするとき、 $U$ の要素 $x$ のうち $p(x)$ が真となるもの全体の集合を、 $p(x)$ の真理集合 (truth set) という。

例えば、条件 $p(x)$ を、先程と同じ $p(x):2x²-7x+3=0$ として、 $p(x)$ の真理集合を求めてみる。

全体集合が実数全体の場合には、2次方程式を考えて $2x²-7x+3=0 \Leftrightarrow (2x-1)(x-3)=0 \Leftrightarrow x=1/2, 3$ の2つが $p(x)$ を真とする $x$ の値である。つまり、条件 $p(x)$ の真理集合 $P$ は $P={1/2, 3}$ となる。また、全体集合が自然数全体の場合には、 $1/2$ は除外されるので、真理集合 $P$ は $P={3}$ となる。

問題1条件と真理集合

条件を $p(x)$ 、全体集合を $U$ とするとき、真理集合 $P$ を求めよ。

$U=N p(x):-2≦x≦2$
$U=Z p(x):-2≦x≦2$
$U=R p(x):-2≦x≦2$

記号 $N$ 、 $Z$ 、 $R$ については、集合の表し方参照。

解答を見る

自然数 $(N)$ のうち、条件 $p(x)$ を満たすものは $x=1, 2$ である。

よって、 $P={1, 2}$ となる。
整数 $(Z)$ のうち、条件 $p(x)$ を満たすものは $x=-2, -1, 0, 1, 2$ である。

よって、 $P={-2, -1, 0, 1, 2}$ となる。
実数 $(R)$ のうち、条件 $p(x)$ を満たすものは $-2≦x≦2$ を満たす実数 $x$ である。

よって、 $P={x|-2≦x≦2}$ となる。

最終更新: 2026-08-12

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