命題の結合

一見複雑な命題も、よくみると小さな命題が組み合わさってできている。正しさに着目する限り、その組み合せ方は「かつ」、「または」、「~ない」、「ならば」の4通りを考えれば十分である。以下では、その組み合わさり方のパターンをみていく。

命題の「かつ」と「または」

命題の「かつ」

命題の「かつ」

2つの命題 $p,q$ に対して、「$p,q$ は共に真である」という命題を
「$p$ かつ $q$ ($p$ and $q$)」
と表す。

吹き出し命題の「かつ」

「$p$ かつ $q$」の意味は、日常使っている言葉でいうところの、「$p$ しかも $q$」、「$p$ さらに $q$」などとほぼ同じ意味である。この辺りを専門に扱う論理学という学問では、日常使う言葉と区別するために「${p}\wedge{q}$」と表す。

この新しい命題「$p$ かつ $q$」の真偽をまとめると、次の表のようになる

$p$$q$$p$ かつ $q$
(この表を真偽値表 (truth and falsity table) という)。

例えば、命題 $p,q$ をそれぞれ

  • $p:$「ペンギンは鳥類である」 (真)
  • $q:$「$2$ は $1$ より小さい」 (偽)
としたとき、「$p$ かつ $q$」つまり「ペンギンは鳥類であり、かつ、$2$ は $1$ より小さい」の真偽は、$p,q$ のうち $q$ が偽であるから、全体として偽となる。

命題の「または」

命題の「または」

2つの命題 $p,q$ に対して、「$p,q$ の少なくとも一方は真である」という命題を
「$p$ または $q$ ($p$ or $q$)」
と表す。

吹き出し命題の「または」

命題「$p$ または $q$」は、日常で使う「または」の意味とは少々異なることに注意がいる。命題の「または」が“少なくとも一方は”という意味なのに対し、日常語での「または」では “どちらか一方”の意味で使われることが多い。論理学では「${p}\vee{q}$」と表し、日常語と区別している。

この新しい命題「$p$ または $q$」の真偽値表は、次のようになる。

$p$$q$$p$ または $q$

例えば、命題 $p,q$ をそれぞれ

  • $p:$「ペンギンは鳥類である」 (真)
  • $q:$「$2$ は $1$ より小さい」 (偽)
としたとき、「$p$ または $q$」つまり「ペンギンは鳥類であるか、または、$2$ は $1$ より小さい」の真偽は、$p,q$ のうち $p$ が真であるから、全体として真となる。

命題の「かつ」と「または」

次のそれぞれにおいて、「$p$ かつ $q$」と「$p$ または $q$」の真偽を答えよ。

    • $p:\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}$
    • $q:\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
    • $p:2^{16}=65536$
    • $q:2^{10}=1024$
    • $p:1+1=1$
    • $q:1\times1=2$

  1. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$ なので、命題 $p$ は偽であり、また、命題 $q$ は真である。よって

    「$p$ かつ $q$」は

    「$p$ または $q$」は

  2. 命題 $p$ は真であり、命題 $q$ も真である。よって

    「$p$ かつ $q$」は

    「$p$ または $q$」は

  3. 命題 $p$ は偽であり、命題 $q$ も偽である。よって

    「$p$ かつ $q$」は

    「$p$ または $q$」は

命題の否定

命題の否定について

命題の否定

ある命題 $p$ に対して、$p$ が真の場合には偽に、$p$ が偽の場合には真となる命題を、$p$ の 否定 (negation) といい

「$p$ でない (not $p$)」

と書く。$p$ の否定は、記号 $\overline{p}$ で表すこともある。

吹き出し命題の否定について

命題の否定は、日常で使う「~ない」の意味と同じである。論理学では「$\neg{p}$」と表す。

この新しい命題 $\overline{p}$ の真偽値表は、次のようになる。

$p$$\overline{p}$

例えば、真である命題として、命題 $p$ を

$p:$「ペンギンは鳥類である」 (真)

とすると、この命題の否定 $\overline{p}$ は

$\overline{p}:$「ペンギンは鳥類ではない」 (偽)

となる。また、偽である命題として、命題 $q$ を

$q:$「$2$ は $1$ より小さい」 (偽)

とすると、この命題の否定 $\overline{q}$ は、「$2$ は $1$ より小さくはない」すなわち

$\overline{q}:$「$2$ は $1$ 以上である」 (真)

となる。

命題の「ならば」

命題の「ならば」について

命題の「ならば」

2つの命題 $p,q$ に対して、「もし $p$ が真であるならば、$q$ は真である」という命題は、簡単に

「$p$ ならば $q$ (if $p$ then $q$)」

と書かれ、記号で $\boldsymbol{{p}\Rightarrow{q}}$ と表す。

このとき、初めの命題 $p$ を

仮定 (assumption)

といい、後の命題 $q$ を

結論 (conclusion)

という。

2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p{\Rightarrow}q$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$$q$$p{\Rightarrow}q$
仮定 $p$ が偽のときは、結論 $q$ の真偽にかかわらず、全体として真になることに注意しよう。こうなる理由は次の例を考えてみるとわかりやすい。

ある人が私たちに
「もしテストで100点をとれた $(p)$ ならば、美味しいものをおごってあげる $(q)$」
という約束したとしよう。そのとき、もし私たちがテストで100点をとったのに、美味しいものをおごってもらえなかったら、この人はうそをついたことになる。しかし、テストで100点をとれなかったときには、たとえおごってもらえなくても、この人はうそをついたことにならないし、また、たとえおごってもらったとしても、やはりこの人はうそをついたことにならない。

このように、日常的に用いている「ならば」は、条件が偽のときには結論が真でも偽でも、全体としては偽とはならないという主張なのだと考えられる。それゆえ、「ならば」に対する真偽の割り当ては、上の表のようになるのである。

同値とは何か

命題の同値

2つの命題 $p,q$ に対して、「$p{\Rightarrow}q$ かつ $q{\Rightarrow}p$」という命題は、簡単に \[\boldsymbol{p{\Leftrightarrow}q}\] と書かれる。

$p{\Leftrightarrow}q$ が真であるとき、命題 $p$ と $q$ は同値 (equivalence)であるという。

2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p{\Leftrightarrow}q$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$$q$$p{\Rightarrow}q$$q{\Rightarrow}p$$\boldsymbol{p{\Leftrightarrow}q}$
この表からわかるように、$p$ と $q$ が同値となるのは、$p$ と $q$ がともに真であるときか $p$ と $q$ がともに偽であるとき、つまり $p$ と $q$ の真偽が一致するときである。つまり、同値である2つの命題は、真偽に関して意味する内容が等しいということである(その意味で同値と呼ぶ)。

例として $p$ と、$\overline{p}$ の否定すなわち $\overline{\overline{p}}$ の真偽値表を書き並べてみると、次のようになる。

$p$$\overline{p}$$\overline{\overline{p}}$
この表をみると、$\overline{\overline{p}}$ と $p$ の真偽値は一致しているので同値である。これは、2重否定「$p$ でないということはない」は「$p$ である」ことを意味する。

「ならば」のいいかえ

下の真偽値表を埋め、$p{\Rightarrow}q$ と $\overline{p}$ または $q$ が同値、すなわち \[(p{\Rightarrow}q)\Leftrightarrow(\overline{p}またはq)\] が成り立つことを示せ。

$p$$q$$\overline{p}$$p{\Rightarrow}q$$\overline{p}$ または $q$

$p$$q$$\overline{p}$$p{\Rightarrow}q$$\overline{p}$ または $q$

この表より、「$p{\Rightarrow}q$」と「$\overline{p}$ または $q$」の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

「ならば」のいいかえ

2つの命題 $p,q$ に対して \[(p{\Rightarrow}q)\Leftrightarrow(\overline{p}またはq)\] が成り立つ。

ド・モルガンの法則(命題版)

下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 \[\overline{p\wedge{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\vee\overline{q})\] \[\overline{p\vee{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\wedge\overline{q})\]

$p$$q$$\overline{p}$$\overline{q}$$p\wedge{q}$$p\vee{q}$$\overline{p\wedge{q}}$$\overline{p}\vee\overline{q}$$\overline{p\vee{q}}$$\overline{p}\wedge\overline{q}$

$p$$q$$\overline{p}$$\overline{q}$$p\wedge{q}$$p\vee{q}$$\overline{p\wedge{q}}$$\overline{p}\vee\overline{q}$$\overline{p\vee{q}}$$\overline{p}\wedge\overline{q}$

この表より、$\overline{p\wedge{q}}$ と $\overline{p}\vee\overline{q}$ の真偽と、$\overline{p\vee{q}}$ と$\overline{p}\wedge\overline{q}$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

ド・モルガンの法則(命題版)

2つの命題 $p,q$ に対して \[\overline{p\wedge{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\vee\overline{q})\] \[\overline{p\vee{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\wedge\overline{q})\] が成り立ち、これをド・モルガンの法則という。

逆・裏・対偶

逆・裏・対偶の関係
逆・裏・対偶の関係

$p\Rightarrow{q}$ の形をした命題に対して

$q\Rightarrow{p}$ を $p\Rightarrow{q}$ の逆 (converse)

$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ を $p\Rightarrow{q}$ の裏 (converse of contraposition)

$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ を $p\Rightarrow{q}$ の対偶たいぐう (contraposition)

という。

対偶は同値であることの証明

下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 \[(p\Rightarrow{q})\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p})\]

$p$$q$$\overline{p}$$\overline{q}$$p\Rightarrow{q}$$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

$p$$q$$\overline{p}$$\overline{q}$$p\Rightarrow{q}$$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

この表より、$p\Rightarrow{q}$ と $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

対偶は同値

2つの命題 $p,q$ に対して \[(p\Rightarrow{q})\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p})\] が成り立つ。