命題の結合

一見複雑な命題も、よくみると小さな命題が組み合わさってできている。正しさに着目する限り、その組み合せ方は「かつ」、「または」、「～ない」、「ならば」の4通りを考えれば十分である。以下では、その組み合わさり方のパターンをみていく。

命題の「かつ」と「または」

命題の「かつ」

2つの命題 $p,q$ に対して、「 $p,q$ は共に真である」という命題を
「 $p$ かつ $q$ ( $p$ and $q$ )」
と表す。

吹き出し命題の「かつ」

「 $p$ かつ $q$ 」の意味は、日常使っている言葉でいうところの、「 $p$ しかも $q$ 」、「 $p$ さらに $q$ 」などとほぼ同じ意味である。この辺りを専門に扱う論理学という学問では、日常使う言葉と区別するために「 ${p}\wedge{q}$ 」と表す。

この新しい命題「 $p$ かつ $q$ 」の真偽をまとめると、次の表のようになる

$p$	$q$	$p$ かつ $q$

真	真	真
真	偽	偽
偽	真	偽
偽	偽	偽

（この表を真偽値表 (truth and falsity table) という）。

例えば、命題 $p,q$ をそれぞれ

$p:$ 「ペンギンは鳥類である」　（真）
$q:$ 「 $2$ は $1$ より小さい」　（偽）

としたとき、「

$p$ かつ

$q$ 」つまり「ペンギンは鳥類であり、かつ、

$2$ は

$1$ より小さい」の真偽は、

$p,q$ のうち

$q$ が偽であるから、全体として偽となる。

命題の「または」

2つの命題 $p,q$ に対して、「 $p,q$ の少なくとも一方は真である」という命題を
「 $p$ または $q$ ( $p$ or $q$ )」
と表す。

吹き出し命題の「または」

命題「 $p$ または $q$ 」は、日常で使う「または」の意味とは少々異なることに注意がいる。命題の「または」が“少なくとも一方は”という意味なのに対し、日常語での「または」では “どちらか一方”の意味で使われることが多い。論理学では「 ${p}\vee{q}$ 」と表し、日常語と区別している。

この新しい命題「 $p$ または $q$ 」の真偽値表は、次のようになる。

$p$	$q$	$p$ または $q$

真	真	真
真	偽	真
偽	真	真
偽	偽	偽

例えば、命題 $p,q$ をそれぞれ

$p:$ 「ペンギンは鳥類である」　（真）
$q:$ 「 $2$ は $1$ より小さい」　（偽）

としたとき、「

$p$ または

$q$ 」つまり「ペンギンは鳥類であるか、または、

$2$ は

$1$ より小さい」の真偽は、

$p,q$ のうち

$p$ が真であるから、全体として真となる。

命題の「かつ」と「または」

次のそれぞれにおいて、「 $p$ かつ $q$ 」と「 $p$ または $q$ 」の真偽を答えよ。

- $p:\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{5}$
- $q:\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
- $p:2^{16}=65536$
- $q:2^{10}=1024$
- $p:1+1=1$
- $q:1\times1=2$

命題の「かつ」と「または」

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$ なので、命題 $p$ は偽であり、また、命題 $q$ は真である。よって
「 $p$ かつ $q$ 」は
偽
「 $p$ または $q$ 」は
真
命題 $p$ は真であり、命題 $q$ も真である。よって
「 $p$ かつ $q$ 」は
真
「 $p$ または $q$ 」は
真
命題 $p$ は偽であり、命題 $q$ も偽である。よって
「 $p$ かつ $q$ 」は
偽
「 $p$ または $q$ 」は
偽

命題の否定

命題の否定について

命題の否定

ある命題 $p$ に対して、 $p$ が真の場合には偽に、 $p$ が偽の場合には真となる命題を、 $p$ の 否定 (negation) といい

「 $p$ でない (not $p$ )」

と書く。 $p$ の否定は、記号 $\overline{p}$ で表すこともある。

吹き出し命題の否定について

命題の否定は、日常で使う「～ない」の意味と同じである。論理学では「 $\neg{p}$ 」と表す。

この新しい命題 $\overline{p}$ の真偽値表は、次のようになる。

$p$	$\overline{p}$

真	偽
偽	真

例えば、真である命題として、命題 $p$ を

$p:$ 「ペンギンは鳥類である」　（真）

とすると、この命題の否定 $\overline{p}$ は

$\overline{p}:$ 「ペンギンは鳥類ではない」　（偽）

となる。また、偽である命題として、命題 $q$ を

$q:$ 「 $2$ は $1$ より小さい」　（偽）

とすると、この命題の否定 $\overline{q}$ は、「 $2$ は $1$ より小さくはない」すなわち

$\overline{q}:$ 「 $2$ は $1$ 以上である」　（真）

となる。

命題の「ならば」

命題の「ならば」について

命題の「ならば」

2つの命題 $p,q$ に対して、「もし $p$ が真であるならば、 $q$ は真である」という命題は、簡単に

「 $p$ ならば $q$ (if $p$ then $q$ )」

と書かれ、記号で $\boldsymbol{{p}\Rightarrow{q}}$ と表す。

このとき、初めの命題 $p$ を

仮定 (assumption)

といい、後の命題 $q$ を

結論 (conclusion)

という。

2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p{\Rightarrow}q$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$	$q$	$p{\Rightarrow}q$

真	真	真
真	偽	偽
偽	真	真
偽	偽	真

仮定

$p$ が偽のときは、結論

$q$ の真偽にかかわらず、全体として真になることに注意しよう。こうなる理由は次の例を考えてみるとわかりやすい。

ある人が私たちに
「もしテストで100点をとれた $(p)$ ならば、美味しいものをおごってあげる $(q)$ 」
という約束したとしよう。そのとき、もし私たちがテストで100点をとったのに、美味しいものをおごってもらえなかったら、この人はうそをついたことになる。しかし、テストで100点をとれなかったときには、たとえおごってもらえなくても、この人はうそをついたことにならないし、また、たとえおごってもらったとしても、やはりこの人はうそをついたことにならない。

このように、日常的に用いている「ならば」は、条件が偽のときには結論が真でも偽でも、全体としては偽とはならないという主張なのだと考えられる。それゆえ、「ならば」に対する真偽の割り当ては、上の表のようになるのである。

同値とは何か

命題の同値

2つの命題 $p,q$ に対して、「 $p{\Rightarrow}q$ かつ $q{\Rightarrow}p$ 」という命題は、簡単に $\boldsymbol{p{\Leftrightarrow}q}$ と書かれる。

$p{\Leftrightarrow}q$ が真であるとき、命題 $p$ と $q$ は同値 (equivalence)であるという。

2つの命題 $p,q$ の真偽それぞれについて、この新しい命題 $p{\Leftrightarrow}q$ の真偽をまとめると、次の表のようになる。

$p$	$q$	$p{\Rightarrow}q$	$q{\Rightarrow}p$	$\boldsymbol{p{\Leftrightarrow}q}$

真	真	真	真	真
真	偽	偽	真	偽
偽	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	真

この表からわかるように、

$p$ と

$q$ が同値となるのは、

$p$ と

$q$ がともに真であるときか

$p$ と

$q$ がともに偽であるとき、つまり

$p$ と

$q$ の真偽が一致するときである。つまり、同値である2つの命題は、真偽に関して意味する内容が等しいということである（その意味で同値と呼ぶ）。

例として $p$ と、 $\overline{p}$ の否定すなわち $\overline{\overline{p}}$ の真偽値表を書き並べてみると、次のようになる。

$p$	$\overline{p}$	$\overline{\overline{p}}$

真	偽	真
偽	真	偽

この表をみると、

$\overline{\overline{p}}$ と

$p$ の真偽値は一致しているので同値である。これは、2重否定「

$p$ でないということはない」は「

$p$ である」ことを意味する。

「ならば」のいいかえ

下の真偽値表を埋め、 $p{\Rightarrow}q$ と $\overline{p}$ または $q$ が同値、すなわち $(p{\Rightarrow}q)\Leftrightarrow(\overline{p}またはq)$ が成り立つことを示せ。

$p$	$q$	$\overline{p}$	$p{\Rightarrow}q$	$\overline{p}$ または $q$

真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

「ならば」のいいかえの解答

$p$	$q$	$\overline{p}$	$p{\Rightarrow}q$	$\overline{p}$ または $q$

真	真	偽	真	真
真	偽	偽	偽	偽
偽	真	真	真	真
偽	偽	真	真	真

この表より、「 $p{\Rightarrow}q$ 」と「 $\overline{p}$ または $q$ 」の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

「ならば」のいいかえ

2つの命題 $p,q$ に対して $(p{\Rightarrow}q)\Leftrightarrow(\overline{p}またはq)$ が成り立つ。

ド・モルガンの法則（命題版）

下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 $\overline{p\wedge{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\vee\overline{q})$ $\overline{p\vee{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\wedge\overline{q})$

$p$	$q$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$p\wedge{q}$	$p\vee{q}$	$\overline{p\wedge{q}}$	$\overline{p}\vee\overline{q}$	$\overline{p\vee{q}}$	$\overline{p}\wedge\overline{q}$

真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

ド・モルガンの法則（命題版）の解答

$p$	$q$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$p\wedge{q}$	$p\vee{q}$	$\overline{p\wedge{q}}$	$\overline{p}\vee\overline{q}$	$\overline{p\vee{q}}$	$\overline{p}\wedge\overline{q}$

真	真	偽	偽	真	真	偽	偽	偽	偽
真	偽	偽	真	偽	真	真	真	偽	偽
偽	真	真	偽	偽	真	真	真	偽	偽
偽	偽	真	真	偽	偽	真	真	真	真

この表より、 $\overline{p\wedge{q}}$ と $\overline{p}\vee\overline{q}$ の真偽と、 $\overline{p\vee{q}}$ と $\overline{p}\wedge\overline{q}$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

ド・モルガンの法則（命題版）

2つの命題 $p,q$ に対して $\overline{p\wedge{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\vee\overline{q})$ $\overline{p\vee{q}}\Leftrightarrow(\overline{p}\wedge\overline{q})$ が成り立ち、これをド・モルガンの法則という。

逆・裏・対偶

逆・裏・対偶の関係

$p\Rightarrow{q}$ の形をした命題に対して

$q\Rightarrow{p}$ を $p\Rightarrow{q}$ の逆 (converse)

$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$ を $p\Rightarrow{q}$ の裏 (converse of contraposition)

$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ を $p\Rightarrow{q}$ の対偶たいぐう (contraposition)

という。

対偶は同値であることの証明

下の真偽値表を埋め、次の関係が成り立つことを示せ。 $(p\Rightarrow{q})\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p})$

$p$	$q$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$p\Rightarrow{q}$	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

真	真
真	偽
偽	真
偽	偽

対偶は同値であることの証明の解答

$p$	$q$	$\overline{p}$	$\overline{q}$	$p\Rightarrow{q}$	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$

真	真	偽	偽	真	真
真	偽	偽	真	偽	偽
偽	真	真	偽	真	真
偽	偽	真	真	真	真

この表より、 $p\Rightarrow{q}$ と $\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$ の真偽が一致するのが確かめられるので、次のことがいえる。

対偶は同値

2つの命題 $p,q$ に対して $(p\Rightarrow{q})\Leftrightarrow(\overline{q}\Rightarrow\overline{p})$ が成り立つ。