『立法の公式2』を逆に利用した因数分解

立方の公式2の逆利用

$a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b2)$
$a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)$

立方の公式2を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

$x^3+27$
$8a^3+1$
$8x^3−27y^3$
$64a^3−125b^3$

立方の公式2を逆に利用した因数分解の解答

$\begin{align} &x^3+27\\ =&x^3+3^3b\\ =&\boldsymbol{(x+3)(x^2-3x+9)}\\ \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &x^2&-3x&9\\\hline{x}&x^3&-3x^2&9x\\\hline3&3x^2&-9x&27\\\hline \end{array}$
$\begin{align} &8a^3+1\\ =&(2a)^3+1^3\\ =&\boldsymbol{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &4a^2&-2a&1\\\hline2a&8a^3&-4a^2&2a\\\hline1&4a^2&-2a&1\\\hline \end{array}$
$\begin{align} &8x^3-27y^3\\ =&(2x)^3-(3y)^3\\ =&\boldsymbol{(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)} \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &4x^2&6xy&9y^2\\\hline2x&8x^3&12x^2y&18xy^2\\\hline-3y&-12x^2y&-18xy^2&-27y^3\\\hline \end{array}$
$\begin{align} &64a^3-125b^3\\ =&(4a)^3-(5b)^3\\ =&\boldsymbol{(4a-5b)(16a^2+20ab+25b^2)} \end{align}$ $\begin{array}{c||c|} &16a^2&20ab&25b^2\\\hline4a&64a^3&80a^2b&100ab^2\\\hline-5b&-80a^2b&-100ab^2&-125b^3\\\hline \end{array}$

吹き出し無題

$\bigcirc^3\pm\triangle^3$ の形の因数分解は忘れやすいので気をつけよう。また、 $2^3=8$ 、 $3^3=27$ 、 $4^3=64$ 、 $5^3=125$ 、 $6^3=216$ 、 $7^3=343$ 、 $8^3=512$ 、 $9^3=729$ などは、整数の $3$ 乗（立方数という）であることに気づけるようにしておこう。