多項式の因数分解の公式

『平方の公式』を逆に利用した因数分解

平方の公式の逆利用

1.

  • $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
  • $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

平方の公式を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $x^2+6x+9$
  2. $4x^2-12xy+9y^2$
  3. $a^4+4a^2+4$

  1. \begin{align} &x^2+6x+9\\ =&x^2+2{\cdot}3x+3^2\\ =&\boldsymbol{(x+3)^2} \end{align} \begin{array}{c||c|} &x&3\\\hline{x}&x^2&3x\\\hline 3&3x&9\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &4x^2-12xy+9y^2\\ =&(2x)^2-2\cdot(2x)(3y)+(3y)^2\\ =&\boldsymbol{(2X-3y)^2} \end{align} \begin{array}{c||c|} &2x&-3y\\\hline2x&4x^2&-6xy\\\hline -3y&-6xy&9y^2\\\hline \end{array}
  3. $a^2=A$ とおくと、$a^4=A^2$ であるので、 \begin{align} &a^4+4a^2+4\\ =&A^2+4A+4\\ =&(A+2)^2\\ =&\boldsymbol{(a^2+2)^2}\\ &\blacktriangleleft 慣れればおきかえずにできる \end{align} \begin{array}{c||c|} &a^2&2\\\hline{a^2}&a^4&2a^2\\\hline 2&2a^2&4\\\hline \end{array}

吹き出し無題

因数分解後の式は、「展開」してみると因数分解前の式と同じになので、 自分の実行した因数分解が正しいかどうかは、展開することによって確認できる。 少し面倒だが、因数分解した後には、かならず展開して確認するようにしよう。 まちがった因数分解をしても何にもならないのだから…。

2重根号

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ とは「2乗して $8+2\sqrt{15}$ になる正の数」を表す。このような、根号の中に根号が含まれる式を2重根号 (doubleradicalsign) という。一見複雑な形をしているが、実は $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ である。実際、$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を2乗すると$\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}$ となる。

2重根号を外す仕組みは、以下のようにして考えられる。

$a\gt0,~b\gt0$ のとき、$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}~\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}$ であり、$\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt0$ であるから \begin{align} &\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}~\right)^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\tag{1}\label{2jukongo1} \end{align} また、$a{\gt}b{\gt}0$ のとき、$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}~\right)^2=a+b-2\sqrt{ab}$ であり、$\sqrt{a}-\sqrt{b}\gt0$ であるから \begin{align} &\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}~\right)^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\tag{2}\label{2jukongo2} \end{align} これら $\eqref{2jukongo1}$、$\eqref{2jukongo2}$ を用いると、根号を2重に含む式を簡単にできる場合がある。

たとえば、$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ は $\eqref{2jukongo1}$ を用いて \begin{align} &\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\ =&\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\cdot3}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}~\right)^2}\\ =&\sqrt{5}+\sqrt{3} \end{align} として、2重根号をはずすことができる。

2重根号をはずす

次の2重根号をはずせ。

  1. $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$
  2. $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$
  3. $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

  1. \begin{align} &\sqrt{9-2\sqrt{14}}\\ =&\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 足して9、掛けて14になる数を探す\\ &\qquad({\bigcirc}-{\triangle})^2 を作るときは、{\bigcirc}\gt{\triangle} \\ &\qquadを満たすように作るとよい。\\ =&\boldsymbol{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \end{align}
  2. \begin{align} &\sqrt{7+4\sqrt{3}}\\ =&\sqrt{7+2\sqrt{12}}\\ &\quad\blacktriangleleft まず \sqrt{{\bigcirc}\pm2\sqrt{\triangle}} の形になおし、\\ &\qquad変形ができるようにする。\\ =&\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の形にした\\ &\qquad（足して 7、掛けて 12 になる数を探す)\\ =&\sqrt{4}+\sqrt{3}\\ &\quad\blacktriangleleft 2重根号をはずした\\ =&\boldsymbol{2+\sqrt{3}} \end{align}
  3. \begin{align} &\sqrt{3-\sqrt{5}}\\ =&\sqrt{3-\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 内側の \sqrt{~~} の前に 2 が無くても、分母・\\ &\qquad分子に \sqrt{2} を掛けて 2\sqrt{~~} の形を作る\\ =&\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\\ =&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 足して 6、掛けて 5 になる数を探す。\\ &\qquad({\bigcirc}-{\triangle})^2 を作るときは、\\ &\qquad{\bigcirc}\gt{\triangle} を満たすように作るとよい。\\ =&\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 最後は分母を有理化しておく \end{align}

『和と差の積の公式』を逆に利用した因数分解

和と差の積の公式の逆利用

2.$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

和と差の積の公式を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^2-9$
  2. $4x^2−25y^2$
  3. $a^4−1$
  4. $(a−b)^2−c^2$

  1. \begin{align} &a^2-9\\=&a^2-3^2\\ =&\boldsymbol{(a+3)(a-3)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &a&-3\\\hline{a}&a^2&-3a\\\hline 3&3a&-9\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &4x^2-25y^2\\=&(2x)^2-(5y)^2\\ =&\boldsymbol{(2x+5y)(2x-5y)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &2x&-5y\\\hline2x&4x^2&-10xy\\\hline 5y&10xy&-25xy\\\hline \end{array}
  3. $a^2=A$ とおくと、$a^4=A^2$ であるので、
    $\blacktriangleleft$ 慣れれば $A$ を使わずにできる \begin{align} &a^4-1\\=&A^2-1^2\\ =&(A+1)(A-1)\\ =&(a^2+1)(a^2-1)\\ &\qquad\blacktriangleleft a^2-1 はまだ分解できる\\ =&\boldsymbol{(a^2+1)(a+1)(a-1)} \end{align}
  4. $a-b=X$ とおけば、
    $\blacktriangleleft$ 慣れれば $X$ を使わずにできる \begin{align} &(a-b)^2-c^2\\ =&X^2-c^2\\ =&(X+c)(X-c)\\ =&\boldsymbol{(a-b+c)(a-b-c)} \end{align} \begin{align} &(a-b)^2-c^2\\=&{(a-b)+c}{(a-b)-c}\\ =&\boldsymbol{(a-b+c)(a-b-c)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &a-b&-c\\\hline{a-b}&(a-b)^2&-(a-b)c\\\hline c&(a-b)c&-c^2\\\hline \end{array}

吹き出し無題

${\bigcirc}^2-{\triangle}^2$の形を見たら因数分解、とすぐに気付けるようになろう。

『1次式の積の公式』を逆に利用した因数分解

1次式の積の公式の逆利用

  • 3.$x^2+(b+d)x+bd=(x+b)(x+d)$
  • 4.$\begin{align}&acx^2+(ad+bc)x+bd\\=&(ax+b)(cx+d)\end{align}$

まず、簡単な例として $x^2+5x+6$ の因数分解の手順を考えてみよう。

STEP1 \begin{array}{c||c|} &&\\\hline&\boldsymbol{x^2}&\\\hline &&\boldsymbol{6}\\\hline \end{array} 展開して $x^2+5x+6$ になる1次式の積を考えるため、まず上図のように表を書く。表のます目の中には、$x^2$ の項と定数項を斜めに書いておく。

STEP2 \begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&\boldsymbol{6}\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&\\\hline \boldsymbol{1}&&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&\boldsymbol{3}\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&\\\hline \boldsymbol{2}&&6\\\hline \end{array} $x^2$ を分解すると $x\times{x}$ になり、$6$ を分解すると $1\times6$ または $2\times3$ になることから、上の2つの表を作る

(6の分解には、$(-1)\times(-6)$や$(-2)\times(-3)$なども考えられる。しかし、$x$の係数が正の数$5$なので、この因数分解ではその可能性はない)

STEP3 \begin{array}{c|c|} \times&x&6\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{6x}\\\hline1&\boldsymbol{x}&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c|c|} \bigcirc&x&3\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{3x}\\\hline2&\boldsymbol{2x}&6\\\hline \end{array} 表の残りの部分を埋めることにより、新しくできた右の太字の式を加えて、$x$ の係数が $5$ になっているほうを選び、それを利用して因数分解すれば完成である \[x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\]

1次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その１～

次の式を因数分解せよ。

  1. $x^2+10x+21$
  2. $x-2-6x+8$
  3. $a^2+3ab−18b^2$
  4. $a^2-4a-32$

  1. \begin{align} &x^2+10x+21\\ =&x^2+(3+7)x+3\cdot7\\ =&\boldsymbol{(x+3)(x+7)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 下の表には、因数分解するときに作られるであろう表の例(一部)を載せてある。 \begin{array}{c||c|} \times&x&21\\\hline{x}&x^2&21x\\\hline1&x&21\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&7\\\hline{x}&x^2&7x\\\hline3&3x&21\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &x^2-6x+8\\ =&x^2+(-2-4)x+(-2)(-4)\\ =&\boldsymbol{(x-2)(x-4)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&x&-8\\\hline{x}&x^2&-8x\\\hline-1&-x&8\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&-4\\\hline{x}&x^2&-4x\\\hline-2&-2x&8\\\hline \end{array}
  3. \begin{align} &a^2+3ab-18b^2\\ =&a^2+(-3b+6b)a+(-3b)(6b)\\ =&\boldsymbol{(a-3b)(a+6b)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&a&18b\\\hline{a}&a^2&18ab\\\hline-b&-ab&-18b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&a&9b\\\hline{a}&a^2&9ab\\\hline-2b&-2ab&-18b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&a&6b\\\hline{a}&a^2&6ab\\\hline-3b&-3ab&-18b^2\\\hline \end{array}
  4. \begin{align} &a^2-4a-32\\ =&a^2+(4-8)a+4\cdot(-8)\\ =&\boldsymbol{(a+4)(a-8)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&a&-8\\\hline{a}&a^2&-8a\\\hline4&4a&-32\\\hline \end{array}

次に、少し難しい例として $3x^2+11x+6$ の因数分解を考えてみよう。

STEP1
展開して $3x^2+11x+6$ になる1次式の積を考えるため、まず右のように表を書く。さきほどと同じように、表のます目の中には、$x^2$ の項と定数項を斜めに書いておく。 \begin{array}{c||c|} &&\\\hline&\boldsymbol{3x^2}&\\\hline&&\boldsymbol{6}\\\hline \end{array}

STEP2
$3x^2$ を分解すると $x\times{3x}$ になり、$6$ を分解すると $1\times6$ または $2\times3$ になることから、右の4つの表を作る（$6$ の分解には、$(-1)\times(-6)$ や $(-2)\times(-3)$ なども考えられる。しかし、やはりさきほどと同じように、$x$ の係数が正の数 $11$ なので、この因数分解ではその可能性はない） \begin{array}{c||c|} &3x&6\\\hline{x}&3x^2&\\\hline1&&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} &3x&3\\\hline{x}&3x^2&\\\hline2&&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} &3x&2\\\hline{x}&3x^2&\\\hline3&&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} &3x&1\\\hline{x}&3x^2&\\\hline6&&6\\\hline \end{array}

STEP3
表の残りの部分を埋めることにより、新しくできた右の太字の式を加えて、$x$ の係数が $11$ になっているものを選び、それを利用して因数分解すれば完成である。 \begin{array}{c||c|} \times&3x&6\\\hline{x}&3x^2&6x\\\hline1&3x&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&3x&3\\\hline{x}&3x^2&3x\\\hline2&6x&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&3x&2\\\hline{x}&3x^2&2x\\\hline3&9x&6\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&3x&1\\\hline{x}&3x^2&x\\\hline6&18x&6\\\hline \end{array} \[3x^2+11x+6=(x+3)(3x+2)\]

吹き出し無題

上では説明の都合上、少々多めに表を作ったが、慣れてくると正解の表を一発でかけるようになる。初めのうちは試行錯誤して、コツをつかむことが大切である。

1次式の積の公式を逆に利用した因数分解～その2～

次の式を因数分解せよ。

  1. $2x^2+3x+1$
  2. $5a^2+7ab+2b^2$
  3. $8x^2-10xy+3y^2$
  4. $12a^2+7a-12$

$\blacktriangleleft$ 因数分解するときに作られるであろう、たすきがけの例（の一部）を載せておく。

  1. \begin{align} &2x^2+3x+1\\ =&2x^2+(2+1)x+1\\ =&\boldsymbol{(x+1)(2x+1)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&2x&1\\\hline{x}&x^2&x\\\hline1&2x&1\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &5a^2+7ab+2b^2\\ =&5a^2+(5+2)ab+2b^2\\ =&\boldsymbol{(a+b)(5a+2b)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&5a&2b\\\hline{a}&5a^2&2ab\\\hline{b}&5ab&2b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&5a&b\\\hline{a}&5a^2&ab\\\hline2b&10ab&2b^2\\\hline \end{array}
  3. \begin{align} &8x^2-10xy+3y^2\\ =&8x^2+(-6-4)xy+3y^2\\ =&\boldsymbol{(2x-y)(4x-3y)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&8x&-3y\\\hline{x}&8x^2&-3xy\\\hline-y&-8xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&8x&-y\\\hline{x}&8x^2&-xy\\\hline-3y&-24xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&4x&-3y\\\hline2x&8x^2&-6xy\\\hline-y&-4xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&4x&-y\\\hline2x&8x^2&-2xy\\\hline-3y&-12xy&3y^2\\\hline \end{array}
  4. \begin{align} &12a^2+7a-12\\ =&12a^2+(16-9)a-12\\ =&\boldsymbol{3b(3a+2)(a-2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&4a&3\\\hline3a&12a^2&9a\\\hline-4&-16a&-12\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&4a&-3\\\hline3a&12a^2&-9a\\\hline4&16a&-12\\\hline \end{array}

『3項の平方の公式』を逆に利用した因数分解

3項の平方の公式の逆利用

5.$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$

3項の平方の公式を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^2+4b^2+c^2+4ab+4bc+2ca$
  2. $4x^2+y^2+1+4xy+2y+4x$
  3. $4a^2+b^2+1+4ab−2b−4a$
  4. $x^2+4y^2+9z^2−4xy+12yz−6zx$

  1. \begin{align} &a^2+4b^2+c^2+4ab+4bc+2ca\\ =&a^2+(2b)^2+c^2\\ &\qquad+2\cdot{a(2b)}+2\cdot{(2b)c}+2\cdot{ca}\\ =&\boldsymbol{(a+2b+c)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &a&2b&c\\\hline{a}&a^2&2ab&ac\\\hline2b&2ab&4b^2&2bc\\\hline{c}&ac&2bc&c^2\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &4x^2+y^2+1+4xy+2y+4x\\ =&(2x)^2+y^2+1^2+2\cdot(2x) y\\ &\qquad+2\cdot y\cdot 1+2\cdot 1\cdot{x}\\ =&\boldsymbol{(2x+y+1)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &2x&y&1\\\hline2x&4x^2&2xy&2x\\\hline{y}&2xy&y^2&y\\\hline1&2x&y&1\\\hline \end{array}
  3. \begin{align} &4a^2+b^2+1+4ab-2b-4a\\ =&(2a)^2+b^2+(-1)^2+2\cdot(2a)b\\ &\qquad+2\cdot b(-1)+2\cdot(-1)a\\ =&\boldsymbol{(2a+b-1)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &2a&b&-1\\\hline2a&4a^2&2ab&-2a\\\hline{b}&2ab&b^2&-b\\\hline-1&-2a&-b&1\\\hline \end{array}
  4. \begin{align} &x^2+4y^2+9z^2-4xy+12yz-6zx\\ =&x^2+(2y)^2+(3z)^2+2\cdot{x(-2y)}\\ &\qquad+2\cdot{(-2y)(-3z)}+2\cdot{(-3z)x}\\ =&\boldsymbol{(x-2y-3z)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &x&-2y&-3z\\\hline{x}&x^2&-2xy&-3xz\\\hline-2y&-2xy&4y^2&6yz\\\hline-3z&-3xz&6yz&9z^2\\\hline \end{array}

『立法の公式1』を逆に利用した因数分解

立方の公式1の逆利用

6.

  • $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$
  • $a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$

立方の公式1を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3$
  2. $8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3$
  3. $x^3-6x^2+12x-8$
  4. $27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3$

  1. \begin{align} &x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3\\ =&x^3+3\cdot{x^2(3y)}+3\cdot{x(3y)^2}+(3y^3)\\ =&\boldsymbol{(x+3y)^3} \end{align}
  2. \begin{align} &8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3\\ =&(2a)^3+3\cdot{(2a)^2b}+3\cdot{(2a)b^2}+b^3\\ =&\boldsymbol{(2a+b)^3} \end{align}
  3. \begin{align} &x^3-6x^2+12x-8\\ =&x^3-3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2-2^3\\ =&\boldsymbol{(x-2)^3} \end{align}
  4. \begin{align} &27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3\\ =&(3x)^3-3\cdot{(3x)^2(2y)}\\ &\qquad+3\cdot{(3x)(2y)^2}-(2y)^3\\ =&\boldsymbol{(3x-2y)^3} \end{align}

吹き出し無題

このタイプの因数分解では、$\boldsymbol{a^3}+\bigcirc+\triangle+\boldsymbol{b^3}$をみて、とりあえず$(a + b)^3$としておいてから、それを展開して確かめるという手順を踏むとよい。

『立法の公式2』を逆に利用した因数分解

立方の公式2の逆利用

7.

  • $a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b2)$
  • $a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)$

立方の公式2を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $x^3+27$
  2. $8a^3+1$
  3. $8x^3−27y^3$
  4. $64a^3−125b^3$

  1. \begin{align} &x^3+27\\ =&x^3+3^3b\\ =&\boldsymbol{(x+3)(x^2-3x+9)}\\ \end{align} \begin{array}{c||c|} &x^2&-3x&9\\\hline{x}&x^3&-3x^2&9x\\\hline3&3x^2&-9x&27\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &8a^3+1\\ =&(2a)^3+1^3\\ =&\boldsymbol{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &4a^2&-2a&1\\\hline2a&8a^3&-4a^2&2a\\\hline1&4a^2&-2a&1\\\hline \end{array}
  3. \begin{align} &8x^3-27y^3\\ =&(2x)^3-(3y)^3\\ =&\boldsymbol{(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &4x^2&6xy&9y^2\\\hline2x&8x^3&12x^2y&18xy^2\\\hline-3y&-12x^2y&-18xy^2&-27y^3\\\hline \end{array}
  4. \begin{align} &64a^3-125b^3\\ =&(4a)^3-(5b)^3\\ =&\boldsymbol{(4a-5b)(16a^2+20ab+25b^2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &16a^2&20ab&25b^2\\\hline4a&64a^3&80a^2b&100ab^2\\\hline-5b&-80a^2b&-100ab^2&-125b^3\\\hline \end{array}

吹き出し無題

$\bigcirc^3\pm\triangle^3$ の形の因数分解は忘れやすいので気をつけよう。また、$2^3=8$、$3^3=27$、$4^3=64$、$5^3=125$、$6^3=216$、$7^3=343$、$8^3=512$、$9^3=729$ などは、整数の $3$ 乗（立方数という）であることに気づけるようにしておこう。

因数分解の公式のまとめ

最も大事なことは、「いつ、どの因数分解を使うのか」見極めることである。

因数分解の練習～その１～

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^2-14ab+49b^2$
  2. $2x^2-x-3$
  3. $343a^3-8b^3$
  4. $4x^2+23x-6$
  5. $3b^2-27c^2$
  6. $3x^3+81y^3$
  7. $2a^4-32$
  8. $x^8-1$
  9. $a^6-b^6$
  10. $5(x+y)^2-8(x+y)-4$
  11. $(a+b)^2+10c(a+b)+25c^2$

  1. \[a^2-14ab+49b^2=\boldsymbol{(a-7b)^2}\] $\blacktriangleleft$ 平方の公式の逆利用参照
  2. \[2x^2-x-3=\boldsymbol{(2x-3)(x+1)}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式の逆利用参照
  3. \begin{align} &343a^3-8b^3\\ =&\boldsymbol{(7a-2b)(49a^2+14ab+4b^2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
  4. \[4x^2+23x-6=\boldsymbol{(4x-1)(x+6)}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式の逆利用参照
  5. \begin{align} &3b^2-27c^2=3(b^2-9c^2)\\ =&\boldsymbol{3(b+3c)(b-3c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
  6. \begin{align} &3x^3+81y^3\\ =&3(x^3+27y^3)\\ =&\boldsymbol{3(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
  7. \begin{align} &2a^4-32\\ =&2(a^4-16)\\ =&2(a^2+4)(a^2-4)\\ =&\boldsymbol{2(a^2+4)(a+2)(a-2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式の逆利用参照
  8. \begin{align} &(x^8-1)\\ =&(x^4+1)(x^4-1)\\ =&(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)\\ =&\boldsymbol{(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式の逆利用参照
  9. \begin{align} &a^6-b^6\\ =&(a^3+b^3)(a^3-b^3)\\ =&{{(a+b)(a^2-ab+b^2)}}\\ &\qquad{{(a-b)(a^2+ab+b^2)}}\\ =&\boldsymbol{(a+b)(a-b)}\\ &\qquad\boldsymbol{(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式の逆利用参照
    $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
  10. $x+y=X$とおくと \begin{align} &5X^2-8X-4\\ =&(5X+2)(X-2)\\ =&\boldsymbol{(5x+5y+2)(x+y-2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式の逆利用参照
  11. $a+b=X$とおくと \begin{align} &X^2+10cX+25c^2\\ =&(X+5c)^2\\ =&\boldsymbol{(a+b+5c)^2} \end{align} $\blacktriangleleft$ 平方の公式の逆利用参照