基本的な因数分解

因数と因数分解

多項式の展開とは逆に、1つの多項式 $A$ を2つ以上の多項式 $B$、$C$、$\cdots$ の積で表すことを、$A$ の因数分解 (factorization) といい、$B$ や $C$ などを、$A$ の因数 (factor) という。

共通因数

多項式において、各項に共通する因数を共通因数 (common　factor) という。

多項式の各項に共通因数があれば、それをかっこの外にくくり出し因数分解できる。

共通因数による因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^4-2a$
  2. $6a^2b+4ab^2-2ab$
  3. $p(2x-y)+q(y-2x)$
  4. $3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x)$

  1. $a^4$ と $-2a$ の共通因数は $a$ であるから \begin{align} &a^4-2a\\ =&\boldsymbol{a(a^3-2)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数 a をくくり出す \end{align} \begin{array}{c||c|} &a^3&-2\\\hline{a}&a^4&-2a\\\hline \end{array}
  2. $6a^2b$ と $4ab^2$ と $-2ab$ の共通因数は $2ab$ であるから \begin{align} &6a^2b+4ab^2-2ab\\ =&\boldsymbol{2ab(3a+2b-1)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数である 2ab をくくり出す \end{align} \begin{array}{c||c|} &3a&2b&-1\\\hline2ab&6a^2b&4ab^2&-2ab\\\hline \end{array}
  3. $y-2x=-(2x-y)$ であるから $2x-y$ が共通因数となる。 \begin{align} &p(2x-y)+q(y-2x)\\ =&p(2x-y)-q(2x-y)\\ =&\boldsymbol{(p-q)(2x-y)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数である 2x-y でくくる \end{align} \begin{array}{c||c|} &p&-q\\\hline2x-y&p(2x-y)&-q(2x-y)\\\hline \end{array}
  4. $y-x=-(x-y)$ であるから $x-y$ が共通因数となる。 \begin{align} &3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x)\\ =&3a(x-y)+6b(x-y)-9c(x-y)\\ =&\boldsymbol{3(x-y)(a+2b-3c)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数である 3(x-y) でくくる \end{align} \begin{array}{c||c|} &a&2b&-3c\\\hline\hspace{-.1em}3(x-y)\hspace{-.1em}&\hspace{-.1em}3a(x-y)\hspace{-.1em}&\hspace{-.1em}6b(x-y)\hspace{-.1em}&\hspace{-.1em}-9c(x-y)\hspace{-.1em}\\\hline \end{array}