展開の工夫

式の一部をまとめる

『多項式の乗法の公式』で学んだ公式を工夫して用いると、 複雑な式の計算がかなり容易にできるようになる。 ここでは、展開の工夫として代表的な2つの方法を取り上げる。

多項式の一部を1つの文字とみなすと、今までの公式がより広く使える。

まず、$(a+b+c)^2$ の展開を考ええてみよう。$A=a+b$ とおくと \begin{align} &(a+b+c)^2\\ =&(A+c)^2\\ &\blacktriangleleft A=a+bとおき、\\ &\qquad式の一部を一つの文字とみなす\\ =&A^2+2Ac+c^2\\ &\blacktriangleleft 平方の公式\\ =&(a+b)^2+2(a+b)c+c^2\\ &\blacktriangleleft Aをa+bに戻す\\ =&a^2+2ab+b^2+2ca+2bc+c^2\\ &\blacktriangleleft 平方の公式\\ =&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\\ &\blacktriangleleft この順番にすると式が見やすい \end{align} であるから、$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ が成り立つ。

これを使い、たとえば $(2x+y-3)^2$ は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(2x+y-3)^2\\ =&(2x)^2+y^2+(-3)^2+2\cdot2xy\\ &\underbrace{\qquad+2\cdot y(-3)+2\cdot(-3)2x}_{慣れると省略できる}\\ =&4x^2+y^2+9+4xy-6y-12x \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} &(2x+y-3)^2\\ =&(2x+y-3)(2x+y-3)\\ =&4x^2+2xy-6x+2yx+\\ &y^2-3y-6x-3y+9\\ =&4x^2+y^2+9+4xy-6y-12x \end{align}

3項の平方の公式

7.$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$

次に、$(x+y−z)(x−y+z)$ の展開を考えてみよう。

$-y+z=-(y-z)$ に注意し、2ヶ所にある $y-z$ を $A$ とおくとよい。 \begin{align} &(x+y-z)(x-y+z)\\ =&\{x+(y-z)\}\{x-(y-z)\}\\ &\blacktriangleleft -y+z=-(y-z)\\ =&(x+A)(x-A)\\ &\blacktriangleleft A=y-zとおき、\\ &\qquad式の一部を１つの文字とみなす\\ =&x^2-A^2\\ &\blacktriangleleft 和と差の積の公式\\ =&x^2-(y-z)^2\\ &\blacktriangleleft Aをy-zに戻す\\ =&x^2-(y^2-2yz+z^2)\\ &\blacktriangleleft 平方の公式\\ =&x^2-y^2+2yz-z^2\\ &\blacktriangleleft 符号に注意して(~~)を外す\\ \end{align}

吹き出し無題

はじめのうちは、共通部分を $A$ や $X$ などでおきかえるが、慣れてきたらおきかえずに計算できるよう練習しよう。

多項式の展開の練習～その２～

  1. $(3a-b+3c)^2$
  2. $(a^2+a-1)^2$
  3. $(x+y+z)(x+y-z)$
  4. $(2a-b+c)(2a+b+c)$

  1. \begin{align} &(3a-b+3c)^2\\ =&\boldsymbol{9a^2+b^2+9c^2-6ab+18ca}\\ &\quad\blacktriangleleft 3項の平方の公式参照 \end{align}
  2. \begin{align} &(a^2+a-1)^2\\ =&(a^2)^2+a^2+(-1)^2+2\cdot a^2\cdot a\\ &+2\cdot a\cdot(-1)+2\cdot(-1)\cdot a^2\\ &\quad\blacktriangleleft 3項の平方の公式参照\\ =&\boldsymbol{a^4+2a^3-a^2-2a+1} \end{align}
  3. $(x+y)$ が共通していることに注意して \begin{align} &(x+y+z)(x+y-z)\\ =&(x+y)^2-z^2\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^2+2xy+y^2-z^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の公式参照 \end{align}
  4. $(2a+c)$ が共通していることに注意して \begin{align} &(2a-b+c)(2a+b+c)\\ =&(2a+c)^2-b^2\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{4a^2+4ac+c^2-b^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の公式参照 \end{align}

掛け算の順序の工夫

$35\times 6$ の計算は、$35\times2\times3=70\times3=210$ とすると楽である。多項式の展開においても、掛け算の順序を考えると計算が楽にできることがある。 \begin{align} &(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)\\ =&(a-b)(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ =&\{(a-b)(a+b)\}\{(a-b)(a^2+ab+b^2)\}\\ =&(a^2-b^2)(a^3-b^3)\\ =&a^5-a^3b^2-a^2b^3+b^5\end{align}

前から順に計算するととても大変
$(a-b)$ は $(a+b)$ と相性がいいし
$(a-b)$ は $(a^2+ab+b^2)$ とも相性がいい

和と差の積の公式参照と立方の公式1参照

多項式の展開の練習～その３～

  1. $(x+1)(x-1)(x^2+1)$
  2. $(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)$
  3. $(x-1)(x-3)(x+3)(x+1)$
  4. $(a-1)(a-2)(a^2-3a)$

  1. まずは $(x+1)(x-1)$ から計算する。 \begin{align} &(x+1)(x-1)(x^2+1)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&(x^2-1)(x^2+1)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^4-1} \end{align}
  2. まず、$(a-2)(a+2)$ から計算をはじめる。
    3. \begin{align} &(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)\\ =&(a^2-4)(a^4+4)(a^4+16)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&(a^4-16)(a^4+16)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{a^8-256}\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照 \end{align}
  3. $x-1$ と $x+1$ の積を計算し、$(x-3)$ と $(x+3)$ の積を計算し、最後にこの両者の積を計算する。 \begin{align} &(x-1)(x-3)(x+3)(x+1)\\ =&(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\\ =&(x^2-1)(x^2-1)(x^2-9)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^4-10x^2+9}\\ &\quad\blacktriangleleft 1次式の積の公式参照 \end{align}
  4. \begin{align} &(a-1)(a-2)(a^2-3a)\\ =&(a^2-3a+2)(a^2-3a)\\ =&(a^2-3a)^2+2(a^2-3a)\\ &\quad\blacktriangleleft a^2-3a が共通している\\ =&a^4-6a^3+9a^2+2a^2-6a\\ &\quad\blacktriangleleft a^2-3a を A とおくと、\\ &\qquad(A+2)A=A^2+2A となるため\\ =&\boldsymbol{a^4-6a^3+11a^2-6a} \end{align}