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多項式の乗法の公式

中学の復習

以下の公式はすでに中学で学習している。 左の「i.うまい計算のやり方」で、計算できるよう繰り返し練習しよう。

平方の公式

1.

  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2

  1. うまい計算のやり方 (3x+2)2=9x2+2(3x)2+4=9x2+12x+4
  2. 普通の計算のやり方 (3x+2)2=(3x+2)(3x+2)=9x2+6x+6x+4=9x2+12x+4

和と差の積の公式

2.(a+b)(ab)=a2b2

  1. うまい計算のやり方 (5x+2y)(5x2y)=(5x)2(2y)2=25x24y2
  2. 普通の計算のやり方 (5x+2y)(5x2y)=25x210xy+10yx4y2=25x24y2

1次式の積

3.(x+b)(x+d)=x2+(b+d)x+bd

  1. うまい計算のやり方 (x+3y)(x4y)=x2+(3y4y)x+(3y)(4y)=x2xy12y2
  2. 普通の計算のやり方
  3. (x+3y)(x4y)=x24xy+3yx12y2=x2xy12y2

1次式の積

(ax+b)(cx+d) を展開すると

式の展開

式の展開

であるから、(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd が成り立つ。

これを使い、たとえば (2x+3y)(5x4y) は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方 (2x+3y)(5x4y)=10x2+(8y+15y)x+(3y)(4y)=10x2+7xy12y2
  2. 普通の計算のやり方 (2x+3y)(5x4y)=10x28xy+15yx12y2=10x2+7xy12y2

1次式の積の公式

4.(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

吹き出し1次式の積

この公式 x の項 (ad+bc) は「(外側の項の掛け算)+(内側の項の掛け算)」と覚えると よい。

多項式の展開~1次式の積の公式

次の多項式を展開し整理せよ。

  1. (x+2)(2x+1)
  2. (2x+3)(3x2)
  3. (5x3y)(2xy)
  4. (13x2y)(2x12y)

  1. (x+2)(2x+1)=\boldsymbol{2x^2+5x+2}
  2. (2x+3)(3x-2)=\boldsymbol{6x^2+5x-6}
  3. \begin{align} &(5x-3y)(2x-y)\\ =&\boldsymbol{10x^2-11xy+3y^2} \end{align}
  4. \begin{align} &\left(\dfrac{1}{3}x-2y\right)\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)\\ =&\dfrac{2}{3}x^2+\left(-\dfrac{1}{6}-4\right)xy+y^2\\ =&\boldsymbol{\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{25}{6}xy+y^2} \end{align}

立法の公式1

(a+b)^3 を展開すると

3乗の式の展開

3乗の式の展開

であるから、(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 が成り立つ。

これを使い、たとえば (2x+y)^3 は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方(○) \begin{align} &(2x+y)^3\\ =&\underbrace{(2x)^3+3\cdot(2x)^2 y+3\cdot(2x) y^2+y^3}_{慣れると省略できる}\\ =&8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方(×) \begin{align} &(2x+y)^3\\ =&(2x+y)(2x+y)^2\\ =&(2x+y)(4x^2+4xy+y^2)\\ =&8x^3+8x^2y+2xy^2+4x^2y+4xy^2+y^3\\ =&8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3 \end{align}
同様に計算すれば (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 も成り立つ。

立方の公式1

5.

  • (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
  • (a−b)^3=a^3−3a^2b+3ab^2−b^3

吹き出し立法の公式1

参考として \begin{align} &(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ &(a+b)^5\\ =&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{align} である。一般の (a+b)^n の展開についてはFTEXT数学Aで学ぶ。

立法の公式2

(a+b)(a^2-ab+b^2) を展開すると

展開式

展開式

であるから、(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3 が成り立つ。

これを使い、たとえば (3x+1)(9x^2-3x+1) は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(3x+1)(9x^2-3x+1)\\ &=\underbrace{(3x+1)\left\{(3x)^2-(3x)\cdot1+1^2\right\}}_{慣れると省略できる}\\ &=27x^3+1 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} &(3x+1)(9x^2-3x+1)\\ &=27x^3-9x^2+3x+9x^2-3x+1\\ &=27x^3+1 \end{align}

また、同様に (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3 も成り立つ。

立法の公式2

6.

  • (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3
  • (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3

吹き出し無題

左辺の a\pm b と右辺の a^3\pm b^3 は符号が一致する、と覚えておこう。ただし、この公式を展開のために使う機会はほとんどなく、立方の公式2の逆利用における「因数分解」でよく利用される。

多項式の展開~立方の公式~

次の多項式を展開し整理せよ。

  1. (2x+1)^3
  2. (3a-2)^3
  3. (x+2)(x^2-2x+4)
  4. (ab-3)(a^2b^2+3ab+9)

  1. \begin{align} &(2x+1)^3\\ =&(2x)^3+3\cdot(2x)^2\cdot1\\ &+3\cdot(2x)\cdot1^2+1^3\\ =&\boldsymbol{8x^3+12x^2+6x+1} \end{align}
  2. \begin{align} &(3a-2)^3\\ =&(3a)^3+3\cdot(3a)^2\cdot(-2)+(-2)^3\\ =&\boldsymbol{27a^3-54a^2+36a-8}\end{align}
  3. \begin{align} &(x+2)(x^2-2x+4)\\ =&x^3+2^3=\boldsymbol{x^3+8} \end{align}
  4. \begin{align} &(ab-3)(a^2b^2+3ab+9)\\ =&(ab)^3-3^3=\boldsymbol{a^3b^3-27} \end{align}

多項式の展開の練習~その1~

  • 1.\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y\right)^2
  • 2.\left(3a-\dfrac{1}{2}b\right)^2
  • 3.(2x-5y)(2x+5y)
  • 4.(-2ab+3c)(2ab+3c)
  • 5.(x+5)(x-8)
  • 6.(a^2-3)(a^2+7)
  • 7.(2x+1)(x-3)
  • 8.(3a-2)(4a+1)
  • 9.(x-3)^3
  • 10.(2x+4y)^3
  • 11.(2x-5)(4x^2+10x+25)
  • 12.(p+q)(3p^2-3pq+3q^2)
    1. \left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y\right)^2=\boldsymbol{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{xy}{3}+\dfrac{y^2}{9}} \blacktriangleleft 平方の公式参照
    2. \left(3a-\dfrac{1}{2}b\right)^2=\boldsymbol{9a^2-3ab+\dfrac{1}{4}b^2} \blacktriangleleft 平方の公式参照
    3. (2x-5y)(2x+5y)=\boldsymbol{4x^2-25y^2} \blacktriangleleft 和と差の積の公式参照
    4. \begin{align} &(-2ab+3c)(2ab+3c)\\ =&(3c-2ab)(3c+2ab)\\ =&\boldsymbol{9c^2-4a^2b^2} \end{align} \blacktriangleleft 公式を使えるよう足す順番を変更
    5. (x+5)(x-8)=\boldsymbol{x^2-3x-40} \blacktriangleleft 和と差の積の公式参照
    6. (a^2-3)(a^2+7)=\boldsymbol{a^4+4a^2-21} \blacktriangleleft 1次式の積参照
    7. (2x+1)(x-3)=\boldsymbol{2x^2-5x-3} \blacktriangleleft 1次式の積参照
    8. (3a-2)(4a+1)=\boldsymbol{12a^2-5a-2} \blacktriangleleft 1次式の積の公式参照
    9. (x-3)^3=\boldsymbol{x^3-9x^2+27x-27} \blacktriangleleft 1次式の積の公式参照
    10. \begin{align} &(2x+4y)^3\\ =&2^3\cdot(x+2y)^3\\ &\quad\blacktriangleleft 指数法則3.参照\\ =&8(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)\\ &\quad\blacktriangleleft 立方の公式1参照\\ =&\boldsymbol{8x^3+48x^2y+96xy^2+64y^3} \end{align}
    11. \begin{align} &(2x-5)(4x^2+10x+25)\\ =&\boldsymbol{8x^3-125} \end{align} \blacktriangleleft 立方の公式2参照
    12. \begin{align} &(p+q)(3p^2-3pq+3q^2)\\=&3(p+q)(p^2-pq+q^2)\\ =&3(p^3+q^3)\\ &\quad\blacktriangleleft 公式を使えるようにした\\ =&\boldsymbol{3p^3+3q^3}\\ &\quad\blacktriangleleft 立方の公式2参照 \end{align}