多項式の乗法の公式

中学の復習

以下の公式はすでに中学で学習している。 左の「i.うまい計算のやり方」で、計算できるよう繰り返し練習しよう。

平方の公式

1.

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} (3x+2)^2&=\underbrace{9x^2+2\cdot(3x)\cdot2+4}_{慣れると省略できる}\\ &=9x^2+12x+4 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} (3x+2)^2&=(3x+2)(3x+2)\\ &=9x^2+6x+6x+4\\ &=9x^2+12x+4 \end{align}

和と差の積の公式

2.$(a+b)(a−b)=a^2−b^2$

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(5x+2y)(5x-2y)\\ &=\underbrace{(5x)^2-(2y)^2}_{慣れると省略できる}\\ &=25x^2-4y^2 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} &(5x+2y)(5x-2y)\\ &=25x^2-10xy+10yx-4y^2\\ &=25x^2-4y^2 \end{align}

1次式の積

3.$(x + b)(x + d) = x^2 + (b + d)x + bd$

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(x+3y)(x-4y)\\ &=\underbrace{x^2+(3y-4y)x+(3y)\cdot(-4y)}_{慣れると省略できる}\\ &=x^2-xy-12y^2 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方
    3. \begin{align} &(x+3y)(x-4y)\\ &=x^2-4xy+3yx-12y^2\\ &=x^2-xy-12y^2 \end{align}

1次式の積

$(ax+b)(cx+d)$ を展開すると

式の展開

式の展開

であるから、$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$ が成り立つ。

これを使い、たとえば $(2x+3y)(5x-4y)$ は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(2x+3y)(5x-4y)\\ &=\underbrace{10x^2+(-8y+15y)x+(3y)\cdot(-4y)}_{慣れると省略できる}\\ &=10x^2+7xy-12y^2 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} &(2x+3y)(5x-4y)\\ &=10x^2-8xy+15yx-12y^2\\ &=10x^2+7xy-12y^2 \end{align}

1次式の積の公式

4.$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

吹き出し1次式の積

この公式 $x$ の項 $(ad+bc)$ は「（外側の項の掛け算）+（内側の項の掛け算）」と覚えると よい。

多項式の展開～1次式の積の公式

次の多項式を展開し整理せよ。

  1. $(x+2)(2x+1)$
  2. $(2x+3)(3x-2)$
  3. $(5x-3y)(2x-y)$
  4. $\left(\dfrac{1}{3}x-2y\right)\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)$

  1. $(x+2)(2x+1)=\boldsymbol{2x^2+5x+2}$
  2. $(2x+3)(3x-2)=\boldsymbol{6x^2+5x-6}$
  3. \begin{align} &(5x-3y)(2x-y)\\ =&\boldsymbol{10x^2-11xy+3y^2} \end{align}
  4. \begin{align} &\left(\dfrac{1}{3}x-2y\right)\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)\\ =&\dfrac{2}{3}x^2+\left(-\dfrac{1}{6}-4\right)xy+y^2\\ =&\boldsymbol{\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{25}{6}xy+y^2} \end{align}

立法の公式1

$(a+b)^3$ を展開すると

3乗の式の展開

3乗の式の展開

であるから、$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ が成り立つ。

これを使い、たとえば $(2x+y)^3$ は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方（○） \begin{align} &(2x+y)^3\\ =&\underbrace{(2x)^3+3\cdot(2x)^2 y+3\cdot(2x) y^2+y^3}_{慣れると省略できる}\\ =&8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方（×） \begin{align} &(2x+y)^3\\ =&(2x+y)(2x+y)^2\\ =&(2x+y)(4x^2+4xy+y^2)\\ =&8x^3+8x^2y+2xy^2+4x^2y+4xy^2+y^3\\ =&8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3 \end{align}
同様に計算すれば $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ も成り立つ。

立方の公式1

5.

  • $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  • $(a−b)^3=a^3−3a^2b+3ab^2−b^3$

吹き出し立法の公式1

参考として \begin{align} &(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ &(a+b)^5\\ =&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{align} である。一般の $(a+b)^n$ の展開についてはFTEXT数学Aで学ぶ。

立法の公式2

$(a+b)(a^2-ab+b^2)$ を展開すると

展開式

展開式

であるから、$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ が成り立つ。

これを使い、たとえば $(3x+1)(9x^2-3x+1)$ は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(3x+1)(9x^2-3x+1)\\ &=\underbrace{(3x+1)\left\{(3x)^2-(3x)\cdot1+1^2\right\}}_{慣れると省略できる}\\ &=27x^3+1 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} &(3x+1)(9x^2-3x+1)\\ &=27x^3-9x^2+3x+9x^2-3x+1\\ &=27x^3+1 \end{align}

また、同様に $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ も成り立つ。

立法の公式2

6.

  • $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
  • $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

吹き出し無題

左辺の $a\pm b$ と右辺の $a^3\pm b^3$ は符号が一致する、と覚えておこう。ただし、この公式を展開のために使う機会はほとんどなく、立方の公式2の逆利用における「因数分解」でよく利用される。

多項式の展開～立方の公式～

次の多項式を展開し整理せよ。

  1. $(2x+1)^3$
  2. $(3a-2)^3$
  3. $(x+2)(x^2-2x+4)$
  4. $(ab-3)(a^2b^2+3ab+9)$

  1. \begin{align} &(2x+1)^3\\ =&(2x)^3+3\cdot(2x)^2\cdot1\\ &+3\cdot(2x)\cdot1^2+1^3\\ =&\boldsymbol{8x^3+12x^2+6x+1} \end{align}
  2. \begin{align} &(3a-2)^3\\ =&(3a)^3+3\cdot(3a)^2\cdot(-2)+(-2)^3\\ =&\boldsymbol{27a^3-54a^2+36a-8}\end{align}
  3. \begin{align} &(x+2)(x^2-2x+4)\\ =&x^3+2^3=\boldsymbol{x^3+8} \end{align}
  4. \begin{align} &(ab-3)(a^2b^2+3ab+9)\\ =&(ab)^3-3^3=\boldsymbol{a^3b^3-27} \end{align}

多項式の展開の練習～その1～

  • 1.$\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y\right)^2$
  • 2.$\left(3a-\dfrac{1}{2}b\right)^2$
  • 3.$(2x-5y)(2x+5y)$
  • 4.$(-2ab+3c)(2ab+3c)$
  • 5.$(x+5)(x-8)$
  • 6.$(a^2-3)(a^2+7)$
  • 7.$(2x+1)(x-3)$
  • 8.$(3a-2)(4a+1)$
  • 9.$(x-3)^3$
  • 10.$(2x+4y)^3$
  • 11.$(2x-5)(4x^2+10x+25)$
  • 12.$(p+q)(3p^2-3pq+3q^2)$

    1. \[\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y\right)^2=\boldsymbol{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{xy}{3}+\dfrac{y^2}{9}}\] $\blacktriangleleft$ 平方の公式参照
    2. \[\left(3a-\dfrac{1}{2}b\right)^2=\boldsymbol{9a^2-3ab+\dfrac{1}{4}b^2}\] $\blacktriangleleft$ 平方の公式参照
    3. \[(2x-5y)(2x+5y)=\boldsymbol{4x^2-25y^2}\] $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式参照
    4. \begin{align} &(-2ab+3c)(2ab+3c)\\ =&(3c-2ab)(3c+2ab)\\ =&\boldsymbol{9c^2-4a^2b^2} \end{align} $\blacktriangleleft$ 公式を使えるよう足す順番を変更
    5. \[(x+5)(x-8)=\boldsymbol{x^2-3x-40}\] $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式参照
    6. \[(a^2-3)(a^2+7)=\boldsymbol{a^4+4a^2-21}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積参照
    7. \[(2x+1)(x-3)=\boldsymbol{2x^2-5x-3}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積参照
    8. \[(3a-2)(4a+1)=\boldsymbol{12a^2-5a-2}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式参照
    9. \[(x-3)^3=\boldsymbol{x^3-9x^2+27x-27}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式参照
    10. \begin{align} &(2x+4y)^3\\ =&2^3\cdot(x+2y)^3\\ &\quad\blacktriangleleft 指数法則3.参照\\ =&8(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)\\ &\quad\blacktriangleleft 立方の公式1参照\\ =&\boldsymbol{8x^3+48x^2y+96xy^2+64y^3} \end{align}
    11. \begin{align} &(2x-5)(4x^2+10x+25)\\ =&\boldsymbol{8x^3-125} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2参照
    12. \begin{align} &(p+q)(3p^2-3pq+3q^2)\\=&3(p+q)(p^2-pq+q^2)\\ =&3(p^3+q^3)\\ &\quad\blacktriangleleft 公式を使えるようにした\\ =&\boldsymbol{3p^3+3q^3}\\ &\quad\blacktriangleleft 立方の公式2参照 \end{align}