多項式の乗法

指数

実数 $a$ の $n$ 個の積 $\overbrace{a\times a\times\cdots\times{a}}^{{n}}$ を $a^n$ と書き、「$a$ の $n$ 乗」と読む（右図参照）。このとき、$a$ の右上に書かれた数 $n$ のことを指数 (exponent) という。

指数が $1$ のときは指数を書かない。実際、$a^1=a$ である。

$a^2$ のことを $a$ の平方 (square)、$a^3$ のことを $a$ の立法 (cube) という。

また、$a,~a^2,~a^3,~\cdots$ を総称して $a$ の指数 (power) という。

累乗に関して、一般に次のような指数法則 (power law) が成り立つ

• 例1. \begin{align} &a^2\times a^4=(\underbrace{a\times a}_{2})\times(\underbrace{a\times{a}\times a\times a}_{4})\\ &=a^6~(=a^{2+4}) \end{align}
• 例2. \begin{align}(a^2)^4&=(\underbrace{a\times a}_{2})\times(\underbrace{a\times{a}}_{2})\\ &\times(\underbrace{a\times a}_{2})\times(\underbrace{a\times a}_{2})=a^8~(=a^{2\times 4}) \end{align}
• 例3. \begin{align} (a\times b)^4=(a\times b)&\times(a\times b)\times(a\times b)\\ &\times(a\times b)=a^4\times b^4 \end{align}

分配法則 $A(B+C)=AB+AC$ や $(A+B)C=AC+BC$ は多項式においても成立する。 これを使って、たとえば $(x^2+3)(x^2-4x+5)$ は次のように計算できる。 \begin{align} &(x^2+3)(x^2-4x+5)\\ =&(x^2+3)A\\ =&x^2A+3A\\ =&x^2(x^2-4x+5)+3(x^2-4x+5)\\ =&x^4-4x^3+5x^2+3x^2-12x+15\\ =&x^4-4x^3+8x^2-12x+15 \end{align} ここでは、$x^2-4x+5$ を $A$ とおいて計算したが、それを省略して次のように計算することもできる。

このように、多項式どうしの積を計算して単項式だけの和にすることを展開 (expansion) するという