式の計算

1. 1. $x$ に着目すると、次数は $\boldsymbol{4}$、係数は $\boldsymbol{3y^5}$ である。
   2. $y$ に着目すると、次数は $\boldsymbol{5}$、係数は $\boldsymbol{3x^4}$ である。
   3. $x$ と $y$ に着目すると、次数は $\boldsymbol{9}$、係数は $\boldsymbol{3}$ である。
2. 1. $x$ に着目すると、次数は $\boldsymbol{1}$、係数は $\boldsymbol{2aby^2}$ である。
   2. $y$ に着目すると、次数は $\boldsymbol{2}$、係数は $\boldsymbol{2abx}$ である。
   3. $x$ と $y$ に着目すると、次数は $\boldsymbol{3}$、係数は $\boldsymbol{2ab}$ である。

1. 同類項でまとめると \[x^3+xy^2-3xy^2=x^3-2xy^2\]
   1. $x$ に着目すると、項 $x^3$ の次数は $3$、項 $2xy^2$ の次数は $1$ であるから、
      3次式
      である。
   2. $y$ に着目すると項 $x^3$ の次数は $0$ （定数項）、項 $-2xy^2$ の次数は $2$ であるから、
      2次式
      である。
2. 同類項でまとめると \begin{align} &x^4+(a^2-a)x^3y\\ &+2bxy^2+ax^3y-4bxy^2\\ =&x^4+(a^2-a+a)x^3y+(2-4)bxy^2\\ =&\boldsymbol{x^4+a^2x^3y-2bxy^2} \end{align}
   1. $x$ に着目すると項 $x^4$ の次数は $4$、項 $a^2x^3y$ の次数は $3$、項 $-2bxy^2$ の次数は $1$ であるから、
      4次式 である。
   2. $y$ に着目すると項 $x^4$ の次数は $0$、項 $a^2x^3y$ の次数は $1$、項 $-2bxy^2$ の次数は $2$ であるから、
      2次式 である。

1. まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。 \begin{align} &3x^2-12xy+4+3x^2-2x+5\\ =&(3+3)x^2+(-12y-2)x+(4+5)\\ =&\boldsymbol{6x^2+(-12y-2)x+9} \end{align} これより、$x^2$ の係数は $6$、$x$ の係数は $-12y-2$、定数項は $9$ である。
2. まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。 \begin{align} &2x^2+2y^2-3xy+4y^2+2xy-x^2\\ =&(2-1)x^2+(2-3)xy+(2+4)y^2\\ =&\boldsymbol{x^2-xy+6y^2} \end{align} これより、$x^2$ の係数は $1$、$x$ の係数は $-y$、定数項は $6y^2$ である。

1. \begin{align} A+B&=(3x^2-2x+1)\\ &+(2x^2+7x-3)\\ &=3x^2-2x+1+2x^2+7x-3\\ &=(3+2)x^2\\&+(-2+7)x+(1-3)\\ &=\boldsymbol{5x^2+5x-2} \end{align}
2. \begin{align} A-B&=(3x^2-2x+1)\\ &-(2x^2+7x-3)\\ &=3x^2-2x+1-2x^2-7x+3\\ &=(3-2)x^2\\&+(-2-7)x+(1+3)\\ &=\boldsymbol{x^2-9x+4}\\ \end{align}
上の計算は、同類項を縦にそろえて並べ、次のようにもできる。

多項式の加法と減法の解答の図

1. $x^2\times{x^3}=x^{2+3}=\boldsymbol{x^5}$
$\blacktriangleleft$ 指数法則の1.を使った。
2. $(x^2)^3=x^{2\times3}=\boldsymbol{x^6}$
$\blacktriangleleft$ 指数法則の2.を使った。
3. $(x^3)^5=x^{3\times5}=\boldsymbol{x^{15}}$
$\blacktriangleleft$ 指数法則の2.を使った。
4. $(xy^2)^3=x^3(y^2)^3=\boldsymbol{x^3y^6}$
$\blacktriangleleft$ 指数法則の3.を使った。

1. \begin{align} &(x+3)(2x+1)\\=&2x^2+x+6x+3\\ =&\boldsymbol{2x^2+7x+3} \end{align}
2. \begin{align} &(4x-1)(2x+3)\\=&8x^2+12x-2x-3\\ =&\boldsymbol{8x^2+10x-3} \end{align}
3. \begin{align} &(x+4)(2x^2-8x+5)\\ =&2x^3-8x^2+5x+8x^2-32x+20\\ =&\boldsymbol{2x^3-27x+20} \end{align}
4. \begin{align} &(3x-x^2)(5x^2-2x+1)\\ =&15x^3-6x^2+3x-5x^4+2x^3-x^2\\ =&\boldsymbol{-5x^4+17x^3-7x^2+3x} \end{align}

1. $(x+2)(2x+1)=\boldsymbol{2x^2+5x+2}$
2. $(2x+3)(3x-2)=\boldsymbol{6x^2+5x-6}$
3. \begin{align} &(5x-3y)(2x-y)\\ =&\boldsymbol{10x^2-11xy+3y^2} \end{align}
4. \begin{align} &\left(\dfrac{1}{3}x-2y\right)\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)\\ =&\dfrac{2}{3}x^2+\left(-\dfrac{1}{6}-4\right)xy+y^2\\ =&\boldsymbol{\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{25}{6}xy+y^2} \end{align}

1. \begin{align} &(2x+1)^3\\ =&(2x)^3+3\cdot(2x)^2\cdot1\\ &+3\cdot(2x)\cdot1^2+1^3\\ =&\boldsymbol{8x^3+12x^2+6x+1} \end{align}
2. \begin{align} &(3a-2)^3\\ =&(3a)^3+3\cdot(3a)^2\cdot(-2)+(-2)^3\\ =&\boldsymbol{27a^3-54a^2+36a-8}\end{align}
3. \begin{align} &(x+2)(x^2-2x+4)\\ =&x^3+2^3=\boldsymbol{x^3+8} \end{align}
4. \begin{align} &(ab-3)(a^2b^2+3ab+9)\\ =&(ab)^3-3^3=\boldsymbol{a^3b^3-27} \end{align}

1. \[\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}y\right)^2=\boldsymbol{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{xy}{3}+\dfrac{y^2}{9}}\] $\blacktriangleleft$ 平方の公式参照
2. \[\left(3a-\dfrac{1}{2}b\right)^2=\boldsymbol{9a^2-3ab+\dfrac{1}{4}b^2}\] $\blacktriangleleft$ 平方の公式参照
3. \[(2x-5y)(2x+5y)=\boldsymbol{4x^2-25y^2}\] $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式参照
4. \begin{align} &(-2ab+3c)(2ab+3c)\\ =&(3c-2ab)(3c+2ab)\\ =&\boldsymbol{9c^2-4a^2b^2} \end{align} $\blacktriangleleft$ 公式を使えるよう足す順番を変更
5. \[(x+5)(x-8)=\boldsymbol{x^2-3x-40}\] $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式参照
6. \[(a^2-3)(a^2+7)=\boldsymbol{a^4+4a^2-21}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積参照
7. \[(2x+1)(x-3)=\boldsymbol{2x^2-5x-3}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積参照
8. \[(3a-2)(4a+1)=\boldsymbol{12a^2-5a-2}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式参照
9. \[(x-3)^3=\boldsymbol{x^3-9x^2+27x-27}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式参照
10. \begin{align} &(2x+4y)^3\\ =&2^3\cdot(x+2y)^3\\ &\quad\blacktriangleleft 指数法則3.参照\\ =&8(x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3)\\ &\quad\blacktriangleleft 立方の公式1参照\\ =&\boldsymbol{8x^3+48x^2y+96xy^2+64y^3} \end{align}
11. \begin{align} &(2x-5)(4x^2+10x+25)\\ =&\boldsymbol{8x^3-125} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2参照
12. \begin{align} &(p+q)(3p^2-3pq+3q^2)\\=&3(p+q)(p^2-pq+q^2)\\ =&3(p^3+q^3)\\ &\quad\blacktriangleleft 公式を使えるようにした\\ =&\boldsymbol{3p^3+3q^3}\\ &\quad\blacktriangleleft 立方の公式2参照 \end{align}

1. \begin{align} &(3a-b+3c)^2\\ =&\boldsymbol{9a^2+b^2+9c^2-6ab+18ca}\\ &\quad\blacktriangleleft 3項の平方の公式参照 \end{align}
2. \begin{align} &(a^2+a-1)^2\\ =&(a^2)^2+a^2+(-1)^2+2\cdot a^2\cdot a\\ &+2\cdot a\cdot(-1)+2\cdot(-1)\cdot a^2\\ &\quad\blacktriangleleft 3項の平方の公式参照\\ =&\boldsymbol{a^4+2a^3-a^2-2a+1} \end{align}
3. $(x+y)$ が共通していることに注意して \begin{align} &(x+y+z)(x+y-z)\\ =&(x+y)^2-z^2\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^2+2xy+y^2-z^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の公式参照 \end{align}
4. $(2a+c)$ が共通していることに注意して \begin{align} &(2a-b+c)(2a+b+c)\\ =&(2a+c)^2-b^2\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{4a^2+4ac+c^2-b^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の公式参照 \end{align}

1. まずは $(x+1)(x-1)$ から計算する。 \begin{align} &(x+1)(x-1)(x^2+1)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&(x^2-1)(x^2+1)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^4-1} \end{align}
2. まず、$(a-2)(a+2)$ から計算をはじめる。
\begin{align} &(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)\\ =&(a^2-4)(a^4+4)(a^4+16)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&(a^4-16)(a^4+16)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{a^8-256}\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照 \end{align}
3. $x-1$ と $x+1$ の積を計算し、$(x-3)$ と $(x+3)$ の積を計算し、最後にこの両者の積を計算する。 \begin{align} &(x-1)(x-3)(x+3)(x+1)\\ =&(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\\ =&(x^2-1)(x^2-1)(x^2-9)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^4-10x^2+9}\\ &\quad\blacktriangleleft 1次式の積の公式参照 \end{align}
4. \begin{align} &(a-1)(a-2)(a^2-3a)\\ =&(a^2-3a+2)(a^2-3a)\\ =&(a^2-3a)^2+2(a^2-3a)\\ &\quad\blacktriangleleft a^2-3a が共通している\\ =&a^4-6a^3+9a^2+2a^2-6a\\ &\quad\blacktriangleleft a^2-3a を A とおくと、\\ &\qquad(A+2)A=A^2+2A となるため\\ =&\boldsymbol{a^4-6a^3+11a^2-6a} \end{align}

1. $a^4$ と $-2a$ の共通因数は $a$ であるから \begin{align} &a^4-2a\\ =&\boldsymbol{a(a^3-2)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数 a をくくり出す \end{align} \begin{array}{c||c|} &a^3&-2\\\hline{a}&a^4&-2a\\\hline \end{array}
2. $6a^2b$ と $4ab^2$ と $-2ab$ の共通因数は $2ab$ であるから \begin{align} &6a^2b+4ab^2-2ab\\ =&\boldsymbol{2ab(3a+2b-1)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数である 2ab をくくり出す \end{align} \begin{array}{c||c|} &3a&2b&-1\\\hline2ab&6a^2b&4ab^2&-2ab\\\hline \end{array}
3. $y-2x=-(2x-y)$ であるから $2x-y$ が共通因数となる。 \begin{align} &p(2x-y)+q(y-2x)\\ =&p(2x-y)-q(2x-y)\\ =&\boldsymbol{(p-q)(2x-y)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数である 2x-y でくくる \end{align} \begin{array}{c||c|} &p&-q\\\hline2x-y&p(2x-y)&-q(2x-y)\\\hline \end{array}
4. $y-x=-(x-y)$ であるから $x-y$ が共通因数となる。 \begin{align} &3a(x-y)+6b(x-y)+9c(y-x)\\ =&3a(x-y)+6b(x-y)-9c(x-y)\\ =&\boldsymbol{3(x-y)(a+2b-3c)}\\ &\blacktriangleleft 共通因数である 3(x-y) でくくる \end{align} \begin{array}{c||c|} &a&2b&-3c\\\hline\hspace{-.1em}3(x-y)\hspace{-.1em}&\hspace{-.1em}3a(x-y)\hspace{-.1em}&\hspace{-.1em}6b(x-y)\hspace{-.1em}&\hspace{-.1em}-9c(x-y)\hspace{-.1em}\\\hline \end{array}

1. \begin{align} &x^2+6x+9\\ =&x^2+2{\cdot}3x+3^2\\ =&\boldsymbol{(x+3)^2} \end{align} \begin{array}{c||c|} &x&3\\\hline{x}&x^2&3x\\\hline 3&3x&9\\\hline \end{array}
2. \begin{align} &4x^2-12xy+9y^2\\ =&(2x)^2-2\cdot(2x)(3y)+(3y)^2\\ =&\boldsymbol{(2X-3y)^2} \end{align} \begin{array}{c||c|} &2x&-3y\\\hline2x&4x^2&-6xy\\\hline -3y&-6xy&9y^2\\\hline \end{array}
3. $a^2=A$ とおくと、$a^4=A^2$ であるので、 \begin{align} &a^4+4a^2+4\\ =&A^2+4A+4\\ =&(A+2)^2\\ =&\boldsymbol{(a^2+2)^2}\\ &\blacktriangleleft 慣れればおきかえずにできる \end{align} \begin{array}{c||c|} &a^2&2\\\hline{a^2}&a^4&2a^2\\\hline 2&2a^2&4\\\hline \end{array}

1. \begin{align} &\sqrt{9-2\sqrt{14}}\\ =&\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 足して9、掛けて14になる数を探す\\ &\qquad({\bigcirc}-{\triangle})^2 を作るときは、{\bigcirc}\gt{\triangle} \\ &\qquadを満たすように作るとよい。\\ =&\boldsymbol{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \end{align}
2. \begin{align} &\sqrt{7+4\sqrt{3}}\\ =&\sqrt{7+2\sqrt{12}}\\ &\quad\blacktriangleleft まず \sqrt{{\bigcirc}\pm2\sqrt{\triangle}} の形になおし、\\ &\qquad変形ができるようにする。\\ =&\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の形にした\\ &\qquad（足して 7、掛けて 12 になる数を探す)\\ =&\sqrt{4}+\sqrt{3}\\ &\quad\blacktriangleleft 2重根号をはずした\\ =&\boldsymbol{2+\sqrt{3}} \end{align}
3. \begin{align} &\sqrt{3-\sqrt{5}}\\ =&\sqrt{3-\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 内側の \sqrt{~~} の前に 2 が無くても、分母・\\ &\qquad分子に \sqrt{2} を掛けて 2\sqrt{~~} の形を作る\\ =&\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\\ =&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 足して 6、掛けて 5 になる数を探す。\\ &\qquad({\bigcirc}-{\triangle})^2 を作るときは、\\ &\qquad{\bigcirc}\gt{\triangle} を満たすように作るとよい。\\ =&\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 最後は分母を有理化しておく \end{align}

1. \begin{align} &a^2-9\\=&a^2-3^2\\ =&\boldsymbol{(a+3)(a-3)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &a&-3\\\hline{a}&a^2&-3a\\\hline 3&3a&-9\\\hline \end{array}
2. \begin{align} &4x^2-25y^2\\=&(2x)^2-(5y)^2\\ =&\boldsymbol{(2x+5y)(2x-5y)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &2x&-5y\\\hline2x&4x^2&-10xy\\\hline 5y&10xy&-25xy\\\hline \end{array}
3. $a^2=A$ とおくと、$a^4=A^2$ であるので、
   $\blacktriangleleft$ 慣れれば $A$ を使わずにできる \begin{align} &a^4-1\\=&A^2-1^2\\ =&(A+1)(A-1)\\ =&(a^2+1)(a^2-1)\\ &\qquad\blacktriangleleft a^2-1 はまだ分解できる\\ =&\boldsymbol{(a^2+1)(a+1)(a-1)} \end{align}
4. $a-b=X$ とおけば、
   $\blacktriangleleft$ 慣れれば $X$ を使わずにできる \begin{align} &(a-b)^2-c^2\\ =&X^2-c^2\\ =&(X+c)(X-c)\\ =&\boldsymbol{(a-b+c)(a-b-c)} \end{align} \begin{align} &(a-b)^2-c^2\\=&{(a-b)+c}{(a-b)-c}\\ =&\boldsymbol{(a-b+c)(a-b-c)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &a-b&-c\\\hline{a-b}&(a-b)^2&-(a-b)c\\\hline c&(a-b)c&-c^2\\\hline \end{array}

1. \begin{align} &x^2+10x+21\\ =&x^2+(3+7)x+3\cdot7\\ =&\boldsymbol{(x+3)(x+7)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 下の表には、因数分解するときに作られるであろう表の例(一部)を載せてある。 \begin{array}{c||c|} \times&x&21\\\hline{x}&x^2&21x\\\hline1&x&21\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&7\\\hline{x}&x^2&7x\\\hline3&3x&21\\\hline \end{array}
2. \begin{align} &x^2-6x+8\\ =&x^2+(-2-4)x+(-2)(-4)\\ =&\boldsymbol{(x-2)(x-4)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&x&-8\\\hline{x}&x^2&-8x\\\hline-1&-x&8\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&-4\\\hline{x}&x^2&-4x\\\hline-2&-2x&8\\\hline \end{array}
3. \begin{align} &a^2+3ab-18b^2\\ =&a^2+(-3b+6b)a+(-3b)(6b)\\ =&\boldsymbol{(a-3b)(a+6b)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&a&18b\\\hline{a}&a^2&18ab\\\hline-b&-ab&-18b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&a&9b\\\hline{a}&a^2&9ab\\\hline-2b&-2ab&-18b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&a&6b\\\hline{a}&a^2&6ab\\\hline-3b&-3ab&-18b^2\\\hline \end{array}
4. \begin{align} &a^2-4a-32\\ =&a^2+(4-8)a+4\cdot(-8)\\ =&\boldsymbol{(a+4)(a-8)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&a&-8\\\hline{a}&a^2&-8a\\\hline4&4a&-32\\\hline \end{array}

$\blacktriangleleft$ 因数分解するときに作られるであろう、たすきがけの例（の一部）を載せておく。

1. \begin{align} &2x^2+3x+1\\ =&2x^2+(2+1)x+1\\ =&\boldsymbol{(x+1)(2x+1)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&2x&1\\\hline{x}&x^2&x\\\hline1&2x&1\\\hline \end{array}
2. \begin{align} &5a^2+7ab+2b^2\\ =&5a^2+(5+2)ab+2b^2\\ =&\boldsymbol{(a+b)(5a+2b)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&5a&2b\\\hline{a}&5a^2&2ab\\\hline{b}&5ab&2b^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&5a&b\\\hline{a}&5a^2&ab\\\hline2b&10ab&2b^2\\\hline \end{array}
3. \begin{align} &8x^2-10xy+3y^2\\ =&8x^2+(-6-4)xy+3y^2\\ =&\boldsymbol{(2x-y)(4x-3y)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&8x&-3y\\\hline{x}&8x^2&-3xy\\\hline-y&-8xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&8x&-y\\\hline{x}&8x^2&-xy\\\hline-3y&-24xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&4x&-3y\\\hline2x&8x^2&-6xy\\\hline-y&-4xy&3y^2\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \times&4x&-y\\\hline2x&8x^2&-2xy\\\hline-3y&-12xy&3y^2\\\hline \end{array}
4. \begin{align} &12a^2+7a-12\\ =&12a^2+(16-9)a-12\\ =&\boldsymbol{3b(3a+2)(a-2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} \times&4a&3\\\hline3a&12a^2&9a\\\hline-4&-16a&-12\\\hline \end{array} \begin{array}{c||c|} \bigcirc&4a&-3\\\hline3a&12a^2&-9a\\\hline4&16a&-12\\\hline \end{array}

1. \begin{align} &a^2+4b^2+c^2+4ab+4bc+2ca\\ =&a^2+(2b)^2+c^2\\ &\qquad+2\cdot{a(2b)}+2\cdot{(2b)c}+2\cdot{ca}\\ =&\boldsymbol{(a+2b+c)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &a&2b&c\\\hline{a}&a^2&2ab&ac\\\hline2b&2ab&4b^2&2bc\\\hline{c}&ac&2bc&c^2\\\hline \end{array}
2. \begin{align} &4x^2+y^2+1+4xy+2y+4x\\ =&(2x)^2+y^2+1^2+2\cdot(2x) y\\ &\qquad+2\cdot y\cdot 1+2\cdot 1\cdot{x}\\ =&\boldsymbol{(2x+y+1)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &2x&y&1\\\hline2x&4x^2&2xy&2x\\\hline{y}&2xy&y^2&y\\\hline1&2x&y&1\\\hline \end{array}
3. \begin{align} &4a^2+b^2+1+4ab-2b-4a\\ =&(2a)^2+b^2+(-1)^2+2\cdot(2a)b\\ &\qquad+2\cdot b(-1)+2\cdot(-1)a\\ =&\boldsymbol{(2a+b-1)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &2a&b&-1\\\hline2a&4a^2&2ab&-2a\\\hline{b}&2ab&b^2&-b\\\hline-1&-2a&-b&1\\\hline \end{array}
4. \begin{align} &x^2+4y^2+9z^2-4xy+12yz-6zx\\ =&x^2+(2y)^2+(3z)^2+2\cdot{x(-2y)}\\ &\qquad+2\cdot{(-2y)(-3z)}+2\cdot{(-3z)x}\\ =&\boldsymbol{(x-2y-3z)^2} \end{align} \begin{array}{c|c|} &x&-2y&-3z\\\hline{x}&x^2&-2xy&-3xz\\\hline-2y&-2xy&4y^2&6yz\\\hline-3z&-3xz&6yz&9z^2\\\hline \end{array}

1. \begin{align} &x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3\\ =&x^3+3\cdot{x^2(3y)}+3\cdot{x(3y)^2}+(3y^3)\\ =&\boldsymbol{(x+3y)^3} \end{align}
2. \begin{align} &8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3\\ =&(2a)^3+3\cdot{(2a)^2b}+3\cdot{(2a)b^2}+b^3\\ =&\boldsymbol{(2a+b)^3} \end{align}
3. \begin{align} &x^3-6x^2+12x-8\\ =&x^3-3\cdot x^2\cdot 2+3\cdot x\cdot 2^2-2^3\\ =&\boldsymbol{(x-2)^3} \end{align}
4. \begin{align} &27x^3-54x^2y+36xy^2-8y^3\\ =&(3x)^3-3\cdot{(3x)^2(2y)}\\ &\qquad+3\cdot{(3x)(2y)^2}-(2y)^3\\ =&\boldsymbol{(3x-2y)^3} \end{align}

1. \begin{align} &x^3+27\\ =&x^3+3^3b\\ =&\boldsymbol{(x+3)(x^2-3x+9)}\\ \end{align} \begin{array}{c||c|} &x^2&-3x&9\\\hline{x}&x^3&-3x^2&9x\\\hline3&3x^2&-9x&27\\\hline \end{array}
2. \begin{align} &8a^3+1\\ =&(2a)^3+1^3\\ =&\boldsymbol{(2a+1)(4a^2-2a+1)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &4a^2&-2a&1\\\hline2a&8a^3&-4a^2&2a\\\hline1&4a^2&-2a&1\\\hline \end{array}
3. \begin{align} &8x^3-27y^3\\ =&(2x)^3-(3y)^3\\ =&\boldsymbol{(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &4x^2&6xy&9y^2\\\hline2x&8x^3&12x^2y&18xy^2\\\hline-3y&-12x^2y&-18xy^2&-27y^3\\\hline \end{array}
4. \begin{align} &64a^3-125b^3\\ =&(4a)^3-(5b)^3\\ =&\boldsymbol{(4a-5b)(16a^2+20ab+25b^2)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &16a^2&20ab&25b^2\\\hline4a&64a^3&80a^2b&100ab^2\\\hline-5b&-80a^2b&-100ab^2&-125b^3\\\hline \end{array}

1. \[a^2-14ab+49b^2=\boldsymbol{(a-7b)^2}\] $\blacktriangleleft$ 平方の公式の逆利用参照
2. \[2x^2-x-3=\boldsymbol{(2x-3)(x+1)}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式の逆利用参照
3. \begin{align} &343a^3-8b^3\\ =&\boldsymbol{(7a-2b)(49a^2+14ab+4b^2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
4. \[4x^2+23x-6=\boldsymbol{(4x-1)(x+6)}\] $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式の逆利用参照
5. \begin{align} &3b^2-27c^2=3(b^2-9c^2)\\ =&\boldsymbol{3(b+3c)(b-3c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
6. \begin{align} &3x^3+81y^3\\ =&3(x^3+27y^3)\\ =&\boldsymbol{3(x+3y)(x^2-3xy+9y^2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
7. \begin{align} &2a^4-32\\ =&2(a^4-16)\\ =&2(a^2+4)(a^2-4)\\ =&\boldsymbol{2(a^2+4)(a+2)(a-2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式の逆利用参照
8. \begin{align} &(x^8-1)\\ =&(x^4+1)(x^4-1)\\ =&(x^4+1)(x^2+1)(x^2-1)\\ =&\boldsymbol{(x^4+1)(x^2+1)(x+1)(x-1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式の逆利用参照
9. \begin{align} &a^6-b^6\\ =&(a^3+b^3)(a^3-b^3)\\ =&{{(a+b)(a^2-ab+b^2)}}\\ &\qquad{{(a-b)(a^2+ab+b^2)}}\\ =&\boldsymbol{(a+b)(a-b)}\\ &\qquad\boldsymbol{(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 和と差の積の公式の逆利用参照
   $\blacktriangleleft$ 立方の公式2の逆利用参照
10. $x+y=X$とおくと \begin{align} &5X^2-8X-4\\ =&(5X+2)(X-2)\\ =&\boldsymbol{(5x+5y+2)(x+y-2)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 1次式の積の公式の逆利用参照
11. $a+b=X$とおくと \begin{align} &X^2+10cX+25c^2\\ =&(X+5c)^2\\ =&\boldsymbol{(a+b+5c)^2} \end{align} $\blacktriangleleft$ 平方の公式の逆利用参照

1. $b$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &a^2+ab+bc+ca\\ =&(a+c)b+(a^2+ca)\\ =&(a+c)b+(a+c)a\\ =&\boldsymbol{(a+b)(a+c)} \end{align} $c$ で整理してもよい
   共通因数を見抜いて因数分解してもよい。また、$a$ の2次式と見て、次に学ぶ2文字2次式の因数分解で考えてもよい。
2. $y$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &x^2+2xy-2y-1\\ =&(x-1)2y+(x^2-1)\\ =&(x-1)2y+(x-1)(x+1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(x+2y+1)} \end{align} $x$ の次数は $2$、$y$ の次数は $1$
3. $y$ についての降べきの順に整理すると \begin{align} &x^2+2xy+3x+4y+2\\ =&(2x+4)y+(x^2+3x+2)\\ =&(x+2)2y+(x+1)(x+2)\\ =&\boldsymbol{(x+2)(x+2y+1)} \end{align} $x$ の次数は $2$、$y$ の次数は $1$
4. $b$ についての降べきの順に整理すると \begin{align} &a^3+ab^2+b^2+1\\ =&(a+1)b^2+(a^3+1)\\ =&(a+1)b^2+(a+1)(a^2-a+1)\\ =&\boldsymbol{(a+1)(a^2+b^2-a+1)} \end{align} $a$ の次数は $3$、$b$ の次数は $2$

1. • 【方法1】
     与式を $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x+3y^2+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x\\ &\qquad+(3y-2)(y+2) \end{align} となり、表は \[\begin{array}{c||c|} &x&\\\hline2x&2x^2&\\\hline&&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y+2\\\hline2x&2x^2&(2y+4)x\\\hline3y-2&(3y-2)x&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align} となる。
   • 【方法2】
     $3$ マス $\times$ $3$ マスの表は \[\begin{array}{c||c|} &x&&\\\hline2x&2x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline2x&2x^2&2xy&\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&2\\\hline2x&2x^2&2xy&4x\\\hline3y&3xy&3y^2&6y\\\hline-2&-2x&-2y&-4\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align} となる。
2. • 【方法1】
     与式を $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(6y^2-7y+2)\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(3y-2)(2y-1) \end{align} となり、表は \[\begin{array}{c||c|} &3x&\\\hline2x&6x^2&\\\hline&&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y-1\\\hline2x&6x^2&(4y-2)x\\\hline-(3y-2)&(-9y+6)x&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align} となる。
   • 【方法2】
     $3\times3$ の表は \[\begin{array}{c||c|} &3x&&\\\hline2x&6x^2&&\\\hline&&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&\\\hline2x&6x^2&4xy&\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&-1\\\hline2x&6x^2&4xy&-2x\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&3y\\\hline2&6x&4y&-2\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align} となる。

1. $x^2=X$ とおくと \begin{align} &x^4-7x^2-8\\ =&X^2-7X-8\\ =&(X+1)(X-8)\\ =&\boldsymbol{(x^2+1)(x^2-8)} \end{align}
2. $x^4$ と $1$ に着目して \begin{align} &x^4+x^2+1\\ =&x^4+2x^2+1-x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align}

\begin{align} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&\left\{a^3+b^3\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft a^3+b^3に着目して\cdots\\ =&\left\{(a+b)^3-3ab(a+b)\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft \eqref{3moji3jisikinoinsubunkai}を使った\\ =&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\ =&\underbrace{(a+b)^3+c^3}_{◯}\underbrace{-3ab(a+b)-3abc}_{□}\\ &\blacktriangleleft 今度は(a+b)^3+c^3に着目する\\ =&\underbrace{\left\{(a+b)+c\right\}\left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\right\}}_{◯}\\ &\qquad\underbrace{-3ab\left\{(a+b)+c\right\}}_{□}\\ &\blacktriangleleft ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて\\ &{\qquad}X^3+Y^3=(X+Y)(X^2−XY+Y^2)\\ &\qquadの因数分解を使った\\ =&(a+b+c)\left\{a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right\}\\ &\qquad-3ab(a+b+c)\\ =&(a+b+c)\\ &\qquad(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\ &\blacktriangleleft 共通因数(a+b+c)でくくった\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ \end{align}

1. \[\begin{align} &(3a)^3+(2b)^3+c^3-3(3a)(2b)c\\ =&\boldsymbol{\left(3a+2b+c\right)}\\ &\boldsymbol{(9a^2+4b^2+c^2}\\ &\qquad\boldsymbol{-6ab-2bc-3ca)} \end{align}\]
2. \[\begin{align} &x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)\\ =&\boldsymbol{\left(x+y-1\right)}\\ &\qquad\boldsymbol{\left(x^2+y^2+1-xy+y+x\right)} \end{align}\]

1. \begin{align} &xy-x-y+1\\ =&(y-1)x-(y-1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(y-1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ $x$ と $y$ はともに1次式なので、とりあえず $x$ で整理する
2. $c$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &(a-b)c+a^2+b^2-2ab\\ =&(a-b)c+(a-b)^2\\ =&(a-b)c+(a-b)(a-b)\\ =&\boldsymbol{(a-b)(a-b+c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ $a$ と $b$ は2次であり $c$ は1次であるから $c$ で整理する
3. $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+y^2z-yz^2\\ =&(y-z)x^2\\ &\qquad-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\\ =&(y-z)\left\{x^2-(y+z)x+yz\right\}\\ =&\boldsymbol{(y-z)(x-y)(x-z)} \end{align} $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $x$ で整理する
4. $a$について降べきの順に整理すると \begin{align} &(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2\\ =&(b-c)a^2\\ &\qquad-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+bc\right\}\\ =&\boldsymbol{(b-c)(a-b)(a-c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $a$ で整理する
5. $x^4$ と $1$ に着目して \begin{align} &x^4+1+x^2\\ =&(x^2+1)^2-2x^2+x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
6. $a^4$ と $64$ に着目して \begin{align} &(a^2+8)^2-16a^2\\ =&(a^2+8+4a)(a^2+8-4a)\\ =&\boldsymbol{(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
7. $x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &x^2-xy-12y^2+5x+y+6\\ =&x^2+(-y+5)x-(12y^2-y-6)\\ =&x^2+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3) \end{align} となる。これを元に表を書けば \begin{array}{c||c|} &x&3y+2\\\hline{x}&x^2&(3y+2)x\\\hline-(4y-3)&(-4y+3)x&-(3y+2)(4y-3)\\\hline \end{array} となるので、$\boldsymbol{(x-4y+3)(x+3y+2)}$ と因数分解できる。
   $\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 \begin{array}{c||c|} &x&-3y&2\\\hline{x}&x^2&3xy&2x\\\hline-4y&-4xy&-12y^2&-8y\\\hline3&3x&9y&6\\\hline \end{array} という表を作ってもよい。
8. $x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &2x^2-y^2-xy+3x+3y-2\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y^2-3y+2)\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y-1)(y-2) \end{align} となる。これを元に表を書けば \begin{array}{c||c|} &x&-(y-2)\\\hline2x&2x^2&(-2y+4)x\\\hline(y-1)&(y-1)x&-(y-1)(y-2)\\\hline \end{array} となるので、$\boldsymbol{(x-y+2)(2x+y-1)}$ と因数分解できる。
   $\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 \begin{array}{c||c|} &x&-y&2\\\hline2x&2x^2&-2xy&4x\\\hline{y}&xy&-y^2&2y\\\hline-1&-x&y&-2\\\hline \end{array} という表を作ってもよい。

1. 1. \begin{align} F&=a(b-3)+2(b-3)\\ &=\boldsymbol{(a+2)(b-3)}\\ &\quad\blacktriangleleft aについて整理した \end{align}

   2. a.の結果から \[(a+2)(b-3)=6\] となる自然数 $a$、$b$ を求めればよい。

      $6$ を自然数の範囲で約数の積に分解すると、$6=6\times1$、$~3\times2$、$~2\times3$、$~1\times6$ である。$a+2$ は $3$ 以上でないといけないことに注意すれば

      $\blacktriangleleft$ 自然数は、$1$ 以上の値である。 \begin{cases} a+2=6\\ b-3=1 \end{cases} \begin{cases} a+2=3\\ b-3=2 \end{cases} のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(a,~b)=(4,~4),~(1,~5)}$ と求められる。

2. 文字 $m$、$n$ を含む項を因数分解する。 \begin{align} &mn+2m-n=3\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-n=3\\ &\quad\blacktriangleleft mで整理した\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-(n+2)=3-2\\ &\quad\blacktriangleleft 両辺から 2 を引いた\\ \Leftrightarrow~&(m-1)(n+2)=1 \end{align} $1=1\times1$または$(-1)\times(-1)$であるので \begin{cases} m-1=1\\ n+2=1 \end{cases} \begin{cases} m-1=-1\\ n+2=-1 \end{cases} のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(m,~n)=(2,~-1),~(0,~-3)}$ と求められる。