難度の高い因数分解

次数の低い文字に着目する因数分解

2つ以上の文字を含む多項式では、最も次数の低い文字に着目して整理すると、因数分解がしやすくなることが多い。

$a^2+ab-3a+b-4$ という式には、共通因数も無く、どの公式にも当てはまらないが $\begin{align} &a^2+ab-3a+b-4\\ =&(a+1)b+a^2-3a-4\\ =&(a+1)b+(a-4)(a+1)\\ =&(a+1)(a+b-4)\\ \end{align}$

$a$ については $2$ 次式、 $b$ については $1$ 次式
次数の低い $b$ について、降べきの順に整頓
定数項を因数分解したら $a+1$ が共通因数になった
$b+a-4$ は順番を入れ替えておこう

次数の低い文字に着目する因数分解

次の式を因数分解せよ。

$a^2+ab+bc+ca$
$x^2−2xy+2y−1$
$x^2+2xy+3x+4y+2$
$a^3+ab^2+b^2+1$

次数の低い文字に着目する因数分解の解答

$b$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &a^2+ab+bc+ca\\ =&(a+c)b+(a^2+ca)\\ =&(a+c)b+(a+c)a\\ =&\boldsymbol{(a+b)(a+c)} \end{align}$ $c$ で整理してもよい
共通因数を見抜いて因数分解してもよい。また、 $a$ の2次式と見て、次に学ぶ2文字2次式の因数分解で考えてもよい。
$y$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &x^2+2xy-2y-1\\ =&(x-1)2y+(x^2-1)\\ =&(x-1)2y+(x-1)(x+1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(x+2y+1)} \end{align}$ $x$ の次数は $2$ 、 $y$ の次数は $1$
$y$ についての降べきの順に整理すると $\begin{align} &x^2+2xy+3x+4y+2\\ =&(2x+4)y+(x^2+3x+2)\\ =&(x+2)2y+(x+1)(x+2)\\ =&\boldsymbol{(x+2)(x+2y+1)} \end{align}$ $x$ の次数は $2$ 、 $y$ の次数は $1$
$b$ についての降べきの順に整理すると $\begin{align} &a^3+ab^2+b^2+1\\ =&(a+1)b^2+(a^3+1)\\ =&(a+1)b^2+(a+1)(a^2-a+1)\\ =&\boldsymbol{(a+1)(a^2+b^2-a+1)} \end{align}$ $a$ の次数は $3$ 、 $b$ の次数は $2$

2文字2次式の因数分解

ここでは、 $x$ についても $y$ についても次数が同じ $x^2+4xy+3y^2+x+5y-2$ という式の因数分解について考えてみよう。

【方法1：1次式の積の公式の逆利用を使う】

まず、 $x^2+4xy+3y^2+x+5y−2$ を $x$ の式とみて、降べきの順に整理する。 $\begin{align} x^2+(4y+1)x+3y^2+5y-2 \end{align}$ 次に、 $x$ を含まない項について因数分解する。 $\begin{align} x^2+(4y+1)x+(3y-1)(y+2) \end{align}$

1次式の積の公式の逆利用のときと同じように、下のような表を描き、隙間を埋めていく。 $\begin{array}{c||c|} &x&y+2\\\hline{x}&x^2&\\\hline3y-1&&(3y-1)(y+2)\\\hline \end{array}$ より $\begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&y+2\\\hline{x}&x^2&(y+2)x\\\hline3y-1&(3y-1)x&(3y-1)(y+2)\\\hline \end{array}$ と表を作れるから $(x+y+2)(x+3y-1)$ と因数分解できる。

【方法2： $3$ マス $\times$ $3$ マスの表を書く】

STEP1
因数分解する式 $\boldsymbol{x^2}+4xy\boldsymbol{+3y^2}+x+5y\boldsymbol{-2}$ の、 $x^2$ の項( $x^2$ )、 $y^2$ の項( $3y^2$ )、定数項( $−2$ )を下図のように、 $3\times 3$ の表に書き込む $\begin{array}{c||c|} &&&\\\hline&\boldsymbol{x^2}&&\\\hline&&\boldsymbol{3y^2}&\\\hline&&&\boldsymbol{-2}\\\hline \end{array}$

STEP2
左上から順にます目を埋めていく。
まずは $x^2$ の分解を考えたものが下図である。 $\begin{array}{c||c|} &\boldsymbol{x}&&\\\hline\boldsymbol{x}&x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}$

STEP3
$3y^2=3y\times{y}$ と分解できるから、ます目を埋めると下図のようになる。このとき、新しくできた $xy$ と $3xy$ を足したものが、因数分解する式の $4xy$ $x^2\boldsymbol{+4xy}+3y^2+x+5y-2$ と等しくなるような分解を考える（ $3y^2=(-3y)\times(-y)$ の分解では、 $-4xy$ となるので考えなくてよい） $\begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline{x}&x^2&\boldsymbol{xy}&\\\hline3y&\boldsymbol{3xy}&3y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}$

STEP4
最後に、定数項( $-2$ )の分解を考える。
下の2つは、 $x$ と $-2x$ を足しても $x^2+4xy+3y^2\boldsymbol{+x}+5y-2$ にならないのでその時点で失敗。 $\begin{array}{c||c|} \times&x&y&1\\\hline{x}&x^2&xy&\boldsymbol{x}\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline-2&\boldsymbol{-2x}&&-2\\\hline \end{array}$ $\begin{array}{c||c|} \times&x&y&-2\\\hline{x}&x^2&xy&\boldsymbol{-2x}\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline1&\boldsymbol{x}&&-2\\\hline \end{array}$ 最後の空欄を埋め、その和が $x^2+4xy+3y^2+x\boldsymbol{+5y}-2$ となるものが正解の表となる。

$\begin{array}{c||c|} \times&x&y&-1\\\hline{x}&x^2&xy&-x\\\hline3y&3xy&3y^2&\boldsymbol{-3y}\\\hline2&2x&\boldsymbol{2y}&-2\\\hline \end{array}$ $\begin{array}{c||c|} \bigcirc&x&y&2\\\hline{x}&x^2&xy&2x\\\hline3y&3xy&3y^2&\boldsymbol{6y}\\\hline-1&-x&\boldsymbol{-y}&-2\\\hline \end{array}$ 以上から $(x+3y-1)(x+y+2)$ と因数分解できることがわかる。

2文字2次式の因数分解

次の式を因数分解せよ。

$2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4$
$6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2$

2文字2次式の因数分解の解答

- 【方法1】
  与式を $x$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x+3y^2+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x\\ &\qquad+(3y-2)(y+2) \end{align}$ となり、表は $\begin{array}{c||c|} &x&\\\hline2x&2x^2&\\\hline&&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y+2\\\hline2x&2x^2&(2y+4)x\\\hline3y-2&(3y-2)x&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}$ と作れるので、 $\begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align}$ となる。
- 【方法2】
  $3$ マス $\times$ $3$ マスの表は $\begin{array}{c||c|} &x&&\\\hline2x&2x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline2x&2x^2&2xy&\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&2\\\hline2x&2x^2&2xy&4x\\\hline3y&3xy&3y^2&6y\\\hline-2&-2x&-2y&-4\\\hline \end{array}$ と作れるので、 $\begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align}$ となる。
- 【方法1】
  与式を $x$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(6y^2-7y+2)\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(3y-2)(2y-1) \end{align}$ となり、表は $\begin{array}{c||c|} &3x&\\\hline2x&6x^2&\\\hline&&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y-1\\\hline2x&6x^2&(4y-2)x\\\hline-(3y-2)&(-9y+6)x&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}$ と作れるので、 $\begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align}$ となる。
- 【方法2】
  $3\times3$ の表は $\begin{array}{c||c|} &3x&&\\\hline2x&6x^2&&\\\hline&&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&\\\hline2x&6x^2&4xy&\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&-1\\\hline2x&6x^2&4xy&-2x\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&3y\\\hline2&6x&4y&-2\\\hline \end{array}$ と作れるので、 $\begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align}$ となる。

複2次式の因数分解

ここでは、 $x^2$ を1つのかたまりとして表される多項式のなかでも、特に複2次式とよばれる多項式についての因数分解について考えよう。

複2次式の定義

$a$ 、 $b$ 、 $c$ を実数の定数とするとき $ax^4+bx^2+c$ という形の多項式を複2次式 (compound quadratic expression) という。ただし、 $a\neq0$ とする。

例として、次の2つの複2次式の因数分解についてみてみよう。

$x^4-13x^2+36$
$x^4+2x^2+9$

$x^4-13x^2+36$ の因数分解
この複2次式は、 $x^2=X$ とおくと、 $X^2-13X+36=(X-4)(X-9)$ であるから $\begin{align} &x^4-13x^2+36\\ =&(x^2-4)(x^2-9)\\ =&(x+2)(x-2)(x+3)(x-3) \end{align}$ と因数分解できる。
$x^4+2x^2+9$ の因数分解
この複2次式は、 $x^2=X$ とおいても、 $X^2+2X+9$ となるだけで因数分解が進まない。
そこで、 $x^4$ と $9$ に着目すると $\begin{align} &x^4+2x^2+9\\ =&x^4+6x^2+9-4x^2\\ &\blacktriangleleft 2x^2に4x^2を加え\\ &\qquad平方の形が作れるようする\\ =&\underbrace{(x^2+3)^2}_{平方の形にする。}-(2x)^2\\ &\blacktriangleleft \bigcirc^2-\triangle^2の形\\ =&\left\{(x^2+3)+2x\right\}\left\{(x^2+3)-2x\right\}\\ =&(x^2+2x+3)(x^2-2x+3) \end{align}$ となり因数分解ができる。

複2次式の因数分解

複2次式 $ax^4+bx^2+c$ の因数分解には

$x^2=X$ とおくことにより因数分解できる場合
$ax^4$ と $c$ に着目し、 $x^2$ の項を付け加えて因数分解できる場合

の2つの場合がある。

吹き出し無題

1.の方法でうまくいかない場合に、2.の方法を試すと覚えておくとよい。詳しくは『付録A.2』参照

複2次式の因数分解

次の式を因数分解せよ。

$x^4−7x^2−8$
$x^4+x^2+1$

複2次式の因数分解の解答

$x^2=X$ とおくと $\begin{align} &x^4-7x^2-8\\ =&X^2-7X-8\\ =&(X+1)(X-8)\\ =&\boldsymbol{(x^2+1)(x^2-8)} \end{align}$
$x^4$ と $1$ に着目して $\begin{align} &x^4+x^2+1\\ =&x^4+2x^2+1-x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align}$

3文字3次式の因数分解

立方の公式1でも触れたが、 $(a+b)^3$ を展開すると $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ であるから $\begin{align} &a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2\\ \Leftrightarrow&a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\tag{1}\label{3moji3jisikinoinsubunkai} \end{align}$ が成り立つ。これを用いることにより、 $a^3+b^3+c^3−3abc$ は、次の例題でみるように因数分解できる。

暗記3文字3次式の因数分解

$a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解せよ。

3文字3次式の因数分解の解答

$\begin{align} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&\left\{a^3+b^3\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft a^3+b^3に着目して\cdots\\ =&\left\{(a+b)^3-3ab(a+b)\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft \eqref{3moji3jisikinoinsubunkai}を使った\\ =&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\ =&\underbrace{(a+b)^3+c^3}_{◯}\underbrace{-3ab(a+b)-3abc}_{□}\\ &\blacktriangleleft 今度は(a+b)^3+c^3に着目する\\ =&\underbrace{\left\{(a+b)+c\right\}\left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\right\}}_{◯}\\ &\qquad\underbrace{-3ab\left\{(a+b)+c\right\}}_{□}\\ &\blacktriangleleft ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて\\ &{\qquad}X^3+Y^3=(X+Y)(X^2−XY+Y^2)\\ &\qquadの因数分解を使った\\ =&(a+b+c)\left\{a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right\}\\ &\qquad-3ab(a+b+c)\\ =&(a+b+c)\\ &\qquad(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\ &\blacktriangleleft 共通因数(a+b+c)でくくった\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ \end{align}$

3変数3次式の因数分解

$\begin{align}&a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{align}$

吹き出し無題

この因数分解は忘れやすいので、上のように結果を導出できるように練習しておくとよい。

3文字3次式の因数分解

次の式を因数分解せよ。

$27a^3+8b^3+c^3-18abc$
$x^3+y^3-1+3xy$

3文字3次式の因数分解の解答

$\begin{align} &(3a)^3+(2b)^3+c^3-3(3a)(2b)c\\ =&\boldsymbol{\left(3a+2b+c\right)}\\ &\boldsymbol{(9a^2+4b^2+c^2}\\ &\qquad\boldsymbol{-6ab-2bc-3ca)} \end{align}$
$\begin{align} &x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)\\ =&\boldsymbol{\left(x+y-1\right)}\\ &\qquad\boldsymbol{\left(x^2+y^2+1-xy+y+x\right)} \end{align}$

いろいろな因数分解

どの因数分解の手段を用いるかどうかは、だいたい次の優先順位で考えるとよい。方針がわからないときは、ひとまずこの順序で考えてみよう。

共通因数を見つける
次数の小さい文字に注目し、降べきの順に並べる。
公式を使えないか考える。

因数分解の練習～その２～

次の式を因数分解せよ。

$xy-x-y+1$
$a^2+b^2+ac-bc-2ab$
$x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$
$ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$
$x^4+x^2+1$
$a^4+64$
$x^2-xy-12y^2+5x+y+6$
$2x^2-y^2-xy+3x+3y-2$

因数分解の練習～その２～の解答

$\begin{align} &xy-x-y+1\\ =&(y-1)x-(y-1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(y-1)} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ $x$ と $y$ はともに1次式なので、とりあえず $x$ で整理する
$c$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &(a-b)c+a^2+b^2-2ab\\ =&(a-b)c+(a-b)^2\\ =&(a-b)c+(a-b)(a-b)\\ =&\boldsymbol{(a-b)(a-b+c)} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ $a$ と $b$ は2次であり $c$ は1次であるから $c$ で整理する
$x$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+y^2z-yz^2\\ =&(y-z)x^2\\ &\qquad-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\\ =&(y-z)\left\{x^2-(y+z)x+yz\right\}\\ =&\boldsymbol{(y-z)(x-y)(x-z)} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $x$ で整理する
$a$ について降べきの順に整理すると $\begin{align} &(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2\\ =&(b-c)a^2\\ &\qquad-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+bc\right\}\\ =&\boldsymbol{(b-c)(a-b)(a-c)} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $a$ で整理する
$x^4$ と $1$ に着目して $\begin{align} &x^4+1+x^2\\ =&(x^2+1)^2-2x^2+x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
$a^4$ と $64$ に着目して $\begin{align} &(a^2+8)^2-16a^2\\ =&(a^2+8+4a)(a^2+8-4a)\\ =&\boldsymbol{(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)} \end{align}$ $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
$x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると $\begin{align} &x^2-xy-12y^2+5x+y+6\\ =&x^2+(-y+5)x-(12y^2-y-6)\\ =&x^2+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3) \end{align}$ となる。これを元に表を書けば $\begin{array}{c||c|} &x&3y+2\\\hline{x}&x^2&(3y+2)x\\\hline-(4y-3)&(-4y+3)x&-(3y+2)(4y-3)\\\hline \end{array}$ となるので、 $\boldsymbol{(x-4y+3)(x+3y+2)}$ と因数分解できる。
$\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 $\begin{array}{c||c|} &x&-3y&2\\\hline{x}&x^2&3xy&2x\\\hline-4y&-4xy&-12y^2&-8y\\\hline3&3x&9y&6\\\hline \end{array}$ という表を作ってもよい。
$x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると $\begin{align} &2x^2-y^2-xy+3x+3y-2\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y^2-3y+2)\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y-1)(y-2) \end{align}$ となる。これを元に表を書けば $\begin{array}{c||c|} &x&-(y-2)\\\hline2x&2x^2&(-2y+4)x\\\hline(y-1)&(y-1)x&-(y-1)(y-2)\\\hline \end{array}$ となるので、 $\boldsymbol{(x-y+2)(2x+y-1)}$ と因数分解できる。
$\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 $\begin{array}{c||c|} &x&-y&2\\\hline2x&2x^2&-2xy&4x\\\hline{y}&xy&-y^2&2y\\\hline-1&-x&y&-2\\\hline \end{array}$ という表を作ってもよい。

因数分解と式の値

因数分解には、式の因数を見えるようにする働きがある。この点を生かせば、値を整数や自然数に限った次のような問題を解くことができる。

因数分解と式の値

多項式 F=ab-3a+2b-6 について、次の問いに答えなさい。
1. $F$ を因数分解しなさい。
2. $F=6$ を満たす自然数 $(a,~b)$ の組をすべて求めなさい。
$mn+2m-n=3$ を満たす整数 $(m,~n)$ の組をすべて求めなさい。

因数分解と式の値の解答

1. $\begin{align} F&=a(b-3)+2(b-3)\\ &=\boldsymbol{(a+2)(b-3)}\\ &\quad\blacktriangleleft aについて整理した \end{align}$
2. a.の結果から $(a+2)(b-3)=6$ となる自然数 $a$ 、 $b$ を求めればよい。
  $6$ を自然数の範囲で約数の積に分解すると、 $6=6\times1$ 、 $~3\times2$ 、 $~2\times3$ 、 $~1\times6$ である。 $a+2$ は $3$ 以上でないといけないことに注意すれば
  $\blacktriangleleft$ 自然数は、 $1$ 以上の値である。 $\begin{cases} a+2=6\\ b-3=1 \end{cases}$ $\begin{cases} a+2=3\\ b-3=2 \end{cases}$ のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(a,~b)=(4,~4),~(1,~5)}$ と求められる。
文字 $m$ 、 $n$ を含む項を因数分解する。 $\begin{align} &mn+2m-n=3\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-n=3\\ &\quad\blacktriangleleft mで整理した\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-(n+2)=3-2\\ &\quad\blacktriangleleft 両辺から 2 を引いた\\ \Leftrightarrow~&(m-1)(n+2)=1 \end{align}$ $1=1\times1$ または $(-1)\times(-1)$ であるので $\begin{cases} m-1=1\\ n+2=1 \end{cases}$ $\begin{cases} m-1=-1\\ n+2=-1 \end{cases}$ のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(m,~n)=(2,~-1),~(0,~-3)}$ と求められる。