難度の高い因数分解

1. $b$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &a^2+ab+bc+ca\\ =&(a+c)b+(a^2+ca)\\ =&(a+c)b+(a+c)a\\ =&\boldsymbol{(a+b)(a+c)} \end{align} $c$ で整理してもよい
   共通因数を見抜いて因数分解してもよい。また、$a$ の2次式と見て、次に学ぶ2文字2次式の因数分解で考えてもよい。
2. $y$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &x^2+2xy-2y-1\\ =&(x-1)2y+(x^2-1)\\ =&(x-1)2y+(x-1)(x+1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(x+2y+1)} \end{align} $x$ の次数は $2$、$y$ の次数は $1$
3. $y$ についての降べきの順に整理すると \begin{align} &x^2+2xy+3x+4y+2\\ =&(2x+4)y+(x^2+3x+2)\\ =&(x+2)2y+(x+1)(x+2)\\ =&\boldsymbol{(x+2)(x+2y+1)} \end{align} $x$ の次数は $2$、$y$ の次数は $1$
4. $b$ についての降べきの順に整理すると \begin{align} &a^3+ab^2+b^2+1\\ =&(a+1)b^2+(a^3+1)\\ =&(a+1)b^2+(a+1)(a^2-a+1)\\ =&\boldsymbol{(a+1)(a^2+b^2-a+1)} \end{align} $a$ の次数は $3$、$b$ の次数は $2$

1. • 【方法1】
     与式を $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x+3y^2+4y-4\\ =&2x^2+(5y+2)x\\ &\qquad+(3y-2)(y+2) \end{align} となり、表は \[\begin{array}{c||c|} &x&\\\hline2x&2x^2&\\\hline&&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y+2\\\hline2x&2x^2&(2y+4)x\\\hline3y-2&(3y-2)x&(3y-2)(y+2)\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align} となる。
   • 【方法2】
     $3$ マス $\times$ $3$ マスの表は \[\begin{array}{c||c|} &x&&\\\hline2x&2x^2&&\\\hline&&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&\\\hline2x&2x^2&2xy&\\\hline3y&3xy&3y^2&\\\hline&&&-4\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &x&y&2\\\hline2x&2x^2&2xy&4x\\\hline3y&3xy&3y^2&6y\\\hline-2&-2x&-2y&-4\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &2x^2+5xy+3y^2+2x+4y-4\\ =&\boldsymbol{(2x+3y-2)(x+y+2)} \end{align} となる。
2. • 【方法1】
     与式を $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(6y^2-7y+2)\\ =&6x^2+(-5y+4)x\\ &\qquad-(3y-2)(2y-1) \end{align} となり、表は \[\begin{array}{c||c|} &3x&\\\hline2x&6x^2&\\\hline&&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y-1\\\hline2x&6x^2&(4y-2)x\\\hline-(3y-2)&(-9y+6)x&-(3y-2)(2y-1)\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align} となる。
   • 【方法2】
     $3\times3$ の表は \[\begin{array}{c||c|} &3x&&\\\hline2x&6x^2&&\\\hline&&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&\\\hline2x&6x^2&4xy&\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&\\\hline&&&-2\\\hline \end{array}\\ \downarrow\\ \begin{array}{c||c|} &3x&2y&-1\\\hline2x&6x^2&4xy&-2x\\\hline-3y&-9xy&-6y^2&3y\\\hline2&6x&4y&-2\\\hline \end{array}\] と作れるので、 \begin{align} &6x^2-5xy-6y^2+4x+7y-2\\ =&\boldsymbol{(2x-3y+2)(3x+2y-1)} \end{align} となる。

1. $x^2=X$ とおくと \begin{align} &x^4-7x^2-8\\ =&X^2-7X-8\\ =&(X+1)(X-8)\\ =&\boldsymbol{(x^2+1)(x^2-8)} \end{align}
2. $x^4$ と $1$ に着目して \begin{align} &x^4+x^2+1\\ =&x^4+2x^2+1-x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align}

\begin{align} &a^3+b^3+c^3-3abc\\ =&\left\{a^3+b^3\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft a^3+b^3に着目して\cdots\\ =&\left\{(a+b)^3-3ab(a+b)\right\}+c^3-3abc\\ &\blacktriangleleft \eqref{3moji3jisikinoinsubunkai}を使った\\ =&(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc\\ =&\underbrace{(a+b)^3+c^3}_{◯}\underbrace{-3ab(a+b)-3abc}_{□}\\ &\blacktriangleleft 今度は(a+b)^3+c^3に着目する\\ =&\underbrace{\left\{(a+b)+c\right\}\left\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\right\}}_{◯}\\ &\qquad\underbrace{-3ab\left\{(a+b)+c\right\}}_{□}\\ &\blacktriangleleft ◯の部分は、a+b=X、c=Yとみて\\ &{\qquad}X^3+Y^3=(X+Y)(X^2−XY+Y^2)\\ &\qquadの因数分解を使った\\ =&(a+b+c)\left\{a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right\}\\ &\qquad-3ab(a+b+c)\\ =&(a+b+c)\\ &\qquad(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)\\ &\blacktriangleleft 共通因数(a+b+c)でくくった\\ =&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ \end{align}

1. \[\begin{align} &(3a)^3+(2b)^3+c^3-3(3a)(2b)c\\ =&\boldsymbol{\left(3a+2b+c\right)}\\ &\boldsymbol{(9a^2+4b^2+c^2}\\ &\qquad\boldsymbol{-6ab-2bc-3ca)} \end{align}\]
2. \[\begin{align} &x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1)\\ =&\boldsymbol{\left(x+y-1\right)}\\ &\qquad\boldsymbol{\left(x^2+y^2+1-xy+y+x\right)} \end{align}\]

1. \begin{align} &xy-x-y+1\\ =&(y-1)x-(y-1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(y-1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ $x$ と $y$ はともに1次式なので、とりあえず $x$ で整理する
2. $c$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &(a-b)c+a^2+b^2-2ab\\ =&(a-b)c+(a-b)^2\\ =&(a-b)c+(a-b)(a-b)\\ =&\boldsymbol{(a-b)(a-b+c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ $a$ と $b$ は2次であり $c$ は1次であるから $c$ で整理する
3. $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+y^2z-yz^2\\ =&(y-z)x^2\\ &\qquad-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\\ =&(y-z)\left\{x^2-(y+z)x+yz\right\}\\ =&\boldsymbol{(y-z)(x-y)(x-z)} \end{align} $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $x$ で整理する
4. $a$について降べきの順に整理すると \begin{align} &(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2\\ =&(b-c)a^2\\ &\qquad-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+bc\right\}\\ =&\boldsymbol{(b-c)(a-b)(a-c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $a$ で整理する
5. $x^4$ と $1$ に着目して \begin{align} &x^4+1+x^2\\ =&(x^2+1)^2-2x^2+x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
6. $a^4$ と $64$ に着目して \begin{align} &(a^2+8)^2-16a^2\\ =&(a^2+8+4a)(a^2+8-4a)\\ =&\boldsymbol{(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
7. $x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &x^2-xy-12y^2+5x+y+6\\ =&x^2+(-y+5)x-(12y^2-y-6)\\ =&x^2+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3) \end{align} となる。これを元に表を書けば \begin{array}{c||c|} &x&3y+2\\\hline{x}&x^2&(3y+2)x\\\hline-(4y-3)&(-4y+3)x&-(3y+2)(4y-3)\\\hline \end{array} となるので、$\boldsymbol{(x-4y+3)(x+3y+2)}$ と因数分解できる。
   $\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 \begin{array}{c||c|} &x&-3y&2\\\hline{x}&x^2&3xy&2x\\\hline-4y&-4xy&-12y^2&-8y\\\hline3&3x&9y&6\\\hline \end{array} という表を作ってもよい。
8. $x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &2x^2-y^2-xy+3x+3y-2\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y^2-3y+2)\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y-1)(y-2) \end{align} となる。これを元に表を書けば \begin{array}{c||c|} &x&-(y-2)\\\hline2x&2x^2&(-2y+4)x\\\hline(y-1)&(y-1)x&-(y-1)(y-2)\\\hline \end{array} となるので、$\boldsymbol{(x-y+2)(2x+y-1)}$ と因数分解できる。
   $\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 \begin{array}{c||c|} &x&-y&2\\\hline2x&2x^2&-2xy&4x\\\hline{y}&xy&-y^2&2y\\\hline-1&-x&y&-2\\\hline \end{array} という表を作ってもよい。

1. 1. \begin{align} F&=a(b-3)+2(b-3)\\ &=\boldsymbol{(a+2)(b-3)}\\ &\quad\blacktriangleleft aについて整理した \end{align}

   2. a.の結果から \[(a+2)(b-3)=6\] となる自然数 $a$、$b$ を求めればよい。

      $6$ を自然数の範囲で約数の積に分解すると、$6=6\times1$、$~3\times2$、$~2\times3$、$~1\times6$ である。$a+2$ は $3$ 以上でないといけないことに注意すれば

      $\blacktriangleleft$ 自然数は、$1$ 以上の値である。 \begin{cases} a+2=6\\ b-3=1 \end{cases} \begin{cases} a+2=3\\ b-3=2 \end{cases} のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(a,~b)=(4,~4),~(1,~5)}$ と求められる。

2. 文字 $m$、$n$ を含む項を因数分解する。 \begin{align} &mn+2m-n=3\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-n=3\\ &\quad\blacktriangleleft mで整理した\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-(n+2)=3-2\\ &\quad\blacktriangleleft 両辺から 2 を引いた\\ \Leftrightarrow~&(m-1)(n+2)=1 \end{align} $1=1\times1$または$(-1)\times(-1)$であるので \begin{cases} m-1=1\\ n+2=1 \end{cases} \begin{cases} m-1=-1\\ n+2=-1 \end{cases} のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(m,~n)=(2,~-1),~(0,~-3)}$ と求められる。