部分集合

部分集合についての図

2つの集合 $A$、$B$ について、$A$ からどのような要素 $x$ をとってきても、その要素 $x$ が $B$ の要素であるとき、つまり \[x\in{A}ならばx\in{B}\] が成り立つとき、$A$ は $B$ の部分集合 (subset) であるといい \[A\subseteqq{B}\] と表す。このとき、$A$ と $B$ の関係は図のようになり、$B$ は $A$ を含む (contain) という。

また、この定義から集合 $A$ は自分自身の部分集合、すなわち $A\subseteqq{A}$ がいえる。

なお、要素をもたない集合である空集合 $\emptyset$ は、どのような集合に対しても部分集合であると約束する。つまり、任意の集合 $A$ に対し、$\emptyset\subseteqq{A}$ とする。

《例》$X=\{1,2,3\}$、$Y=\{1,2,3\}$、$Z=\{1,2\}$ のとき \[X\subseteqq{Y}~,~{Z}\subseteqq{Y}~,~\emptyset\subseteqq{Z}\]

2つの集合 $A$、$B$ において、$A\subseteqq{B}$ かつ $B\subseteqq{A}$ のときは、$A$ と $B$ の要素が完全に一致している。

集合の相等の図

このとき、$A$ と $B$ は等しい (equal) といい \[A=B\] と表す。また、等しくないときは $A\neq{B}$ と表す。

《例》$X=\{1,2,3\}$、$Y=\{1,2,3\}$、$Z=\{2,3,4\}$ のとき \[X=Y~,~Y\neq{Z}\]

2つの集合 $A$、$B$ において、$A\subseteqq{B}$ であるが $A\neq{B}$ のとき、$A$ は $B$ の真部分集合 (proper subset) であるといい \[A\subset{B}\] と表す。また、真部分集合でないときは $A\not\subset{B}$ と表す。

《例》$X=\{1,2,3\}$、$Y=\{1,2,3\}$、$Z=\{1,2\}$ のとき \[X\not\subset{Y}~,~{Z}\subset{Y}\]

吹き出し真部分集合

集合における部分集合 $(\subseteqq)$ と真部分集合 $(\subset)$ の違いは、実数における $\leqq$ と $\lt$ の違いに似ていると考えると覚えやすい。