2次関数の平行移動
ここでは、2次関数のグラフの平行移動について考える。
2次関数グラフの平行移動〜その1〜
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{3}{2}$ とし、放物線 $y=f(x)$ を $C$ とよぶ。
- $C$ を $x$ 軸方向に $2$ 平行移動したグラフ $C_1$ の式を求めよ。
- $C$ を $y$ 軸方向に $1$ 平行移動したグラフ $C_2$ の式を求めよ。
1、2のグラフ
平方完成をすると、$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)^2+1$ となるので、頂点の座標は $(1,~1)$ とわかる。
- 頂点が $(3,~1)$ となればよいので \begin{align} &y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x^2-3x+\dfrac{11}{2}} \end{align}
- 頂点が $(1,~2)$ となればよいので \begin{align} &y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2+2\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x^2-x+\dfrac{5}{2}} \end{align}
上の例題を別の見方でとらえてみよう。
たとえば、$C_1$ 上の各点 $P(x,~y)$ において、問題とは逆向きに $x$ 軸方向に $-2$ 平行移動した点 $Q(x-2,~y)$ は $C$ 上の点だから \begin{align} &y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-(x-2)+\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=\dfrac{1}{2}x^2-3x+\dfrac{11}{2}} \end{align} として答えを求めることができる。
このようなやり方は、$y$ 軸方向への平行移動でも実行できる。上の例題の2で各自それを確かめてみよ。
放物線の平行移動
放物線 $y=ax^2+bx+c$ を $x$ 軸に $p$、$y$ 軸に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、$x$ を $x-p$、$y$ を $y-q$ におきかえると \begin{align} &y-q=a(x-p)^2+b(x-p)+c\\ \Leftrightarrow~&y=a(x-p)^2+b(x-p)+c+q \end{align} となる。
2次関数グラフの平行移動〜その2〜
放物線 $y=x^2-x+1$ を、$x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ。
$x$ を $x-1$、$y$ を $y-2$ におきかえて \begin{align} &y-2=(x-1)^2-(x-1)+1\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{y=x^2-3x+5} \end{align}