掛け算の順序の工夫

$35\times 6$ の計算は、$35\times2\times3=70\times3=210$ とすると楽である。多項式の展開においても、掛け算の順序を考えると計算が楽にできることがある。 \begin{align} &(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)\\ =&(a-b)(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ =&\{(a-b)(a+b)\}\{(a-b)(a^2+ab+b^2)\}\\ =&(a^2-b^2)(a^3-b^3)\\ =&a^5-a^3b^2-a^2b^3+b^5\end{align}

前から順に計算するととても大変
$(a-b)$ は $(a+b)$ と相性がいいし
$(a-b)$ は $(a^2+ab+b^2)$ とも相性がいい

和と差の積の公式参照と立方の公式1参照

多項式の展開の練習～その３～

  1. $(x+1)(x-1)(x^2+1)$
  2. $(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)$
  3. $(x-1)(x-3)(x+3)(x+1)$
  4. $(a-1)(a-2)(a^2-3a)$

  1. まずは $(x+1)(x-1)$ から計算する。 \begin{align} &(x+1)(x-1)(x^2+1)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&(x^2-1)(x^2+1)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^4-1} \end{align}
  2. まず、$(a-2)(a+2)$ から計算をはじめる。
    3. \begin{align} &(a-2)(a+2)(a^2+4)(a^4+16)\\ =&(a^2-4)(a^4+4)(a^4+16)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&(a^4-16)(a^4+16)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{a^8-256}\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照 \end{align}
  3. $x-1$ と $x+1$ の積を計算し、$(x-3)$ と $(x+3)$ の積を計算し、最後にこの両者の積を計算する。 \begin{align} &(x-1)(x-3)(x+3)(x+1)\\ =&(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)\\ =&(x^2-1)(x^2-1)(x^2-9)\\ &\quad\blacktriangleleft 和と差の積の公式参照\\ =&\boldsymbol{x^4-10x^2+9}\\ &\quad\blacktriangleleft 1次式の積の公式参照 \end{align}
  4. \begin{align} &(a-1)(a-2)(a^2-3a)\\ =&(a^2-3a+2)(a^2-3a)\\ =&(a^2-3a)^2+2(a^2-3a)\\ &\quad\blacktriangleleft a^2-3a が共通している\\ =&a^4-6a^3+9a^2+2a^2-6a\\ &\quad\blacktriangleleft a^2-3a を A とおくと、\\ &\qquad(A+2)A=A^2+2A となるため\\ =&\boldsymbol{a^4-6a^3+11a^2-6a} \end{align}