降べき・昇べきの順

多項式は、ある文字に着目した次数についてまとめると、式が扱いやすい。

たとえば、多項式 $-3x^2-7+4x^3+x$ を

  • ($x$ について)次数が低くなる順に整理すると $4x^3-3x^2+x-7$
  • ($x$ について)次数が高くなる順に整理すると $-7+x-3x^2+4x^3$
となる。 一般には、次のようにいわれる。
  • 次数が低くなる順に多項式を整理することを降べきの順 (descending order of power) に整理するといい
  • 次数が高くなる順に多項式を整理することを昇べきの順 (ascending order of power) に整理するという。

吹き出し降べきの順

今後は基本的に、降べきの順に整理する習慣をつけよう。
いくつかの例外を除き（その場合は降べきの順でなくてよい）ほとんどの場合、それによって式の見通しがよくなる。

降べきの順

次の多項式を $x$ について降べきの順に整理し、各項の係数をいえ。

  1. $3x^2-12xy+4+3x^2-2x+5$
  2. $2x^2+2y^2-3xy+4y^2+2xy-x^2$

  1. まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。 \begin{align} &3x^2-12xy+4+3x^2-2x+5\\ =&(3+3)x^2+(-12y-2)x+(4+5)\\ =&\boldsymbol{6x^2+(-12y-2)x+9} \end{align} これより、$x^2$ の係数は $6$、$x$ の係数は $-12y-2$、定数項は $9$ である。
  2. まず同類項でまとめてから、降べきの順に整理する。 \begin{align} &2x^2+2y^2-3xy+4y^2+2xy-x^2\\ =&(2-1)x^2+(2-3)xy+(2+4)y^2\\ =&\boldsymbol{x^2-xy+6y^2} \end{align} これより、$x^2$ の係数は $1$、$x$ の係数は $-y$、定数項は $6y^2$ である。