『和と差の積の公式』を逆に利用した因数分解

和と差の積の公式の逆利用

2.$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

和と差の積の公式を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $a^2-9$
  2. $4x^2−25y^2$
  3. $a^4−1$
  4. $(a−b)^2−c^2$

  1. \begin{align} &a^2-9\\=&a^2-3^2\\ =&\boldsymbol{(a+3)(a-3)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &a&-3\\\hline{a}&a^2&-3a\\\hline 3&3a&-9\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &4x^2-25y^2\\=&(2x)^2-(5y)^2\\ =&\boldsymbol{(2x+5y)(2x-5y)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &2x&-5y\\\hline2x&4x^2&-10xy\\\hline 5y&10xy&-25xy\\\hline \end{array}
  3. $a^2=A$ とおくと、$a^4=A^2$ であるので、
    $\blacktriangleleft$ 慣れれば $A$ を使わずにできる \begin{align} &a^4-1\\=&A^2-1^2\\ =&(A+1)(A-1)\\ =&(a^2+1)(a^2-1)\\ &\qquad\blacktriangleleft a^2-1 はまだ分解できる\\ =&\boldsymbol{(a^2+1)(a+1)(a-1)} \end{align}
  4. $a-b=X$ とおけば、
    $\blacktriangleleft$ 慣れれば $X$ を使わずにできる \begin{align} &(a-b)^2-c^2\\ =&X^2-c^2\\ =&(X+c)(X-c)\\ =&\boldsymbol{(a-b+c)(a-b-c)} \end{align} \begin{align} &(a-b)^2-c^2\\=&{(a-b)+c}{(a-b)-c}\\ =&\boldsymbol{(a-b+c)(a-b-c)} \end{align} \begin{array}{c||c|} &a-b&-c\\\hline{a-b}&(a-b)^2&-(a-b)c\\\hline c&(a-b)c&-c^2\\\hline \end{array}

吹き出し無題

${\bigcirc}^2-{\triangle}^2$の形を見たら因数分解、とすぐに気付けるようになろう。