2重根号

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ とは「2乗して $8+2\sqrt{15}$ になる正の数」を表す。このような、根号の中に根号が含まれる式を2重根号 (doubleradicalsign) という。一見複雑な形をしているが、実は $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$ である。実際、$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を2乗すると$\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2=5+3+2\sqrt{15}=8+2\sqrt{15}$ となる。

2重根号を外す仕組みは、以下のようにして考えられる。

$a\gt0,~b\gt0$ のとき、$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}~\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}$ であり、$\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt0$ であるから \begin{align} &\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}~\right)^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\tag{1}\label{2jukongo1} \end{align} また、$a{\gt}b{\gt}0$ のとき、$\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}~\right)^2=a+b-2\sqrt{ab}$ であり、$\sqrt{a}-\sqrt{b}\gt0$ であるから \begin{align} &\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}~\right)^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\tag{2}\label{2jukongo2} \end{align} これら $\eqref{2jukongo1}$、$\eqref{2jukongo2}$ を用いると、根号を2重に含む式を簡単にできる場合がある。

たとえば、$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ は $\eqref{2jukongo1}$ を用いて \begin{align} &\sqrt{8+2\sqrt{15}}\\ =&\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\cdot3}}\\ =&\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}~\right)^2}\\ =&\sqrt{5}+\sqrt{3} \end{align} として、2重根号をはずすことができる。

2重根号をはずす

次の2重根号をはずせ。

  1. $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$
  2. $\sqrt{7+4\sqrt{3}}$
  3. $\sqrt{3-\sqrt{5}}$

  1. \begin{align} &\sqrt{9-2\sqrt{14}}\\ =&\sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 足して9、掛けて14になる数を探す\\ &\qquad({\bigcirc}-{\triangle})^2 を作るときは、{\bigcirc}\gt{\triangle} \\ &\qquadを満たすように作るとよい。\\ =&\boldsymbol{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \end{align}
  2. \begin{align} &\sqrt{7+4\sqrt{3}}\\ =&\sqrt{7+2\sqrt{12}}\\ &\quad\blacktriangleleft まず \sqrt{{\bigcirc}\pm2\sqrt{\triangle}} の形になおし、\\ &\qquad変形ができるようにする。\\ =&\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}\\ &\quad\blacktriangleleft 平方の形にした\\ &\qquad（足して 7、掛けて 12 になる数を探す)\\ =&\sqrt{4}+\sqrt{3}\\ &\quad\blacktriangleleft 2重根号をはずした\\ =&\boldsymbol{2+\sqrt{3}} \end{align}
  3. \begin{align} &\sqrt{3-\sqrt{5}}\\ =&\sqrt{3-\sqrt{5}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 内側の \sqrt{~~} の前に 2 が無くても、分母・\\ &\qquad分子に \sqrt{2} を掛けて 2\sqrt{~~} の形を作る\\ =&\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\\ =&\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 足して 6、掛けて 5 になる数を探す。\\ &\qquad({\bigcirc}-{\triangle})^2 を作るときは、\\ &\qquad{\bigcirc}\gt{\triangle} を満たすように作るとよい。\\ =&\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}\\ &\quad\blacktriangleleft 最後は分母を有理化しておく \end{align}