『平方の公式』を逆に利用した因数分解

平方の公式の逆利用

1.

  • $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
  • $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

平方の公式を逆に利用した因数分解

次の式を因数分解せよ。

  1. $x^2+6x+9$
  2. $4x^2-12xy+9y^2$
  3. $a^4+4a^2+4$

  1. \begin{align} &x^2+6x+9\\ =&x^2+2{\cdot}3x+3^2\\ =&\boldsymbol{(x+3)^2} \end{align} \begin{array}{c||c|} &x&3\\\hline{x}&x^2&3x\\\hline 3&3x&9\\\hline \end{array}
  2. \begin{align} &4x^2-12xy+9y^2\\ =&(2x)^2-2\cdot(2x)(3y)+(3y)^2\\ =&\boldsymbol{(2X-3y)^2} \end{align} \begin{array}{c||c|} &2x&-3y\\\hline2x&4x^2&-6xy\\\hline -3y&-6xy&9y^2\\\hline \end{array}
  3. $a^2=A$ とおくと、$a^4=A^2$ であるので、 \begin{align} &a^4+4a^2+4\\ =&A^2+4A+4\\ =&(A+2)^2\\ =&\boldsymbol{(a^2+2)^2}\\ &\blacktriangleleft 慣れればおきかえずにできる \end{align} \begin{array}{c||c|} &a^2&2\\\hline{a^2}&a^4&2a^2\\\hline 2&2a^2&4\\\hline \end{array}

吹き出し無題

因数分解後の式は、「展開」してみると因数分解前の式と同じになので、 自分の実行した因数分解が正しいかどうかは、展開することによって確認できる。 少し面倒だが、因数分解した後には、かならず展開して確認するようにしよう。 まちがった因数分解をしても何にもならないのだから…。