2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小

ここでは、グラフを利用して2次関数の最大値や最小値を求める方法を考えよう。

$y=x^2-4x+5$

$y=x^2-4x+5$

たとえば、$f(x)=x^2-4x+5$ は \[f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\] と変形できるので、$y=f(x)$ のグラフは点 $(2,~1)$ を頂点とする下に凸な放物線であることがわかり、グラフは右図のようになる。このグラフは、$x$ の増加に対し
「$x\lt2$ の範囲では $y$ の値が減少、$2\lt{x}$ の範囲では $y$ の値は増加」
する。そのため、$y$ の値が減少から増加に転じる $x=2$ で、最小値 $1$ をとる。また、$y$ の値はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しない。

$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$

$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$

また、$g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$ は \[g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+3\] と変形できるので、$y=g(x)$ のグラフは点 $(-2,~3)$ を頂点とする上に凸な放物線であることがわかり、グラフは右図のようになる。このグラフは、$x$ の増加に対し
「$x\lt-2$ の範囲では $y$ の値が増加、$-2\lt{x}$ の範囲では $y$ の値は減少」
する。そのため、$y$ の値が増加から減少に転じる $x=-2$ で、最大値 $3$ をとる。また、$y$ の値はいくらでも小さくなるので、最小値は存在しない。

  1. $a\gt0$ の場合
    $a\gt0$ の場合
  2. $a\lt0$ の場合
    $a\lt0$ の場合

定義域が限定された2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小〜その1〜

2次関数 $f(x)=x^2-2x-2$ において、定義域を次の1～5としたときの、最大値・最小値をそれぞれ求めよ。

  1. $-2\leqq{x}\leqq0$
  2. $-1\leqq{x}\leqq2$
  3. $0\leqq{x}\leqq2$
  4. $0\leqq{x}\leqq3$
  5. $3\leqq{x}\leqq4$

平方完成によって $f(x)=(x-1)^2-3$ と変形できる。

そこで $y=(x-1)^2-3$ のグラフを、与えられた定義域内で描いて考える。

  1. 1のグラフ
    定義域が $-2\leqq{x}\leqq0$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(-2)=\boldsymbol{6}$
    • 最小値 $f(0)=\boldsymbol{-2}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 放物線は下に凸、頂点は定義域内になく、$y$ の値は定義域内で常に減少している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の右端である。
  2. 2のグラフ
    定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(-1)=\boldsymbol{1}$
    • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-3}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内の右半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
  3. 3のグラフ
    定義域が $0\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(2)=f(0)=\boldsymbol{-2}$
    • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-3}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内のまん中にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の両端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
  4. 4のグラフ
    定義域が $0\leqq{x}\leqq3$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(3)=\boldsymbol{1}$
    • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-3}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内の左半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
  5. 5のグラフ
    定義域が $3\leqq{x}\leqq4$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(4)=\boldsymbol{6}$
    • 最小値 $f(3)=\boldsymbol{1}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内になく、$y$ の値は定義域内で常に増加している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の左端である。

2次関数の最大・最小〜その2〜

1～4の全ての2次関数について定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ であるとき、最大値・最小値をそれぞれ求めよ。

  1. $f(x)=x^2+4x-3$
  2. $f(x)=-x^2-x-2$
  3. $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x-3$
  4. $f(x)=-3x^2+12x-5$

  1. 1のグラフ
    $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=(x+2)^2-7\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(2)=\boldsymbol{9}$
    • 最小値 $f(-1)=\boldsymbol{-6}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 放物線は下に凸、頂点は定義域内になく、$y$ の値は定義域内で常に増加している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の左端である。
  2. 2のグラフ
    $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\boldsymbol{-\dfrac{7}{4}}$
    • 最小値 $f(2)=\boldsymbol{-8}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 放物線は上に凸、頂点は定義域内の左半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは放物線の頂点であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の右端である。
  3. 3のグラフ
    $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)^2-\dfrac{7}{2}\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(-1)=\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$
    • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-\dfrac{7}{2}}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 放物線は下に凸、頂点は定義域内の右半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
  4. 4のグラフ
    $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=-3(x-2)2+7\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
    • 最大値 $f(2)=\boldsymbol{7}$
    • 最小値 $f(-1)=\boldsymbol{-20}$
    となる。
    $\blacktriangleleft$ 放物線は上に凸、頂点は定義域の右端にあり、$y$ の値は定義域内で常に増加している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の左端である。

吹き出し無題

定義域が限定された放物線は、最大値・最小値を与えるグラフ上の点に着目すれば、以下の5種類にまとめられる（$y$ 座標が最大になる点を $\blacktriangle$、最小になる点を $\bullet$ で表している）。

放物線の最大値と最小値の図

放物線の最大値と最小値の図

文字定数を含む2次関数の最大・最小

文字定数を含む2次関数の形の判別

放物線 \[C:y=x^2-4ax+a^2~~(-5\leqq{x}\leqq5)\] について以下の問に答えよ。

  1. $C$ の軸が定義域より左側にあるための、$a$ の範囲を求めよ。また、定義域内における $C$ の最大値、最小値を求めよ。
  2. $C$ の軸が定義域より右側にあるための、$a$ の範囲を求めよ。また、定義域内における $C$ の最大値、最小値を求めよ。
  3. $C$ の軸が定義域の中にあるための、$a$ の範囲を求めよ。また、この範囲のうち、定義域の左端で $C$ が最大となるような $a$ の範囲を求め、このときの $C$ の最大値、最小値を求めよ。

$y=x^2-4ax+a^2$ の右辺を平方完成すると \[y=(x-2a)^2-3a^2\] となるので、このグラフの軸は $x=2a$ である。

  1. 1のグラフ
    放物線の軸 $x=2a$ が定義域の左端 $x=-5$ よりさらに左にあればよい。よって \[2a\lt-5~\Leftrightarrow~\boldsymbol{a\lt-\dfrac{5}{2}}\]
    • $y$ 座標が最大となるのは定義域の右端なので、最大値 $\boldsymbol{a^2-20a+25}$（$x=5$ のとき）
    • $y$ 座標が最小となるのは定義域の左端なので、最小値 $\boldsymbol{a^2+20a+25}$（$x=-5$ のとき）
  2. 2のグラフ
    放物線の軸 $x=2a$ が定義域の右端 $x=5$ よりさらに右にあればよい。 \[5\lt2a~\Leftrightarrow~\boldsymbol{\dfrac{5}{2}\lt{a}}\]
    • $y$ 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 $\boldsymbol{a^2+20a+25}$（$x=-5$ のとき）
    • $y$ 座標が最小となるのは定義域の右端なので、最小値 $\boldsymbol{a^2-20a+25}$（$x=5$ のとき）
  3. 3のグラフ
    放物線の軸 $x=2a$ が定義域の中にあるためには \[-5\leqq2a\leqq5~\Leftrightarrow~\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}\leqq{a}\leqq\dfrac{5}{2}}\] さらに、定義域の左端で $y$ 座標が最大となるには、軸が定義域の右半分に存在すればよい。つまり \[0\leqq2a\leqq5~\Leftrightarrow~\boldsymbol{0\leqq{a}\leqq\dfrac{5}{2}}\]
    • $y$ 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 $\boldsymbol{a^2+20a+25}$（$x=-5$ のとき）
    • $y$ 座標が最小となるのは $C$ の頂点なので、最小値 $\boldsymbol{-3a^2}$（$x=2a$ のとき）

吹き出し無題

上の問題において、$a=0$ のときは定義域の両端で最大値をとる。

2次関数の最大・最小（文字定数を含む場合）

2次関数 \[f(x)=x^2-4x+5~(0\leqq{x}\leqq{a})\] について以下の問に答えよ。ただし、$a\gt0$ とする。

  1. 最小値を求めよ。
  2. 最大値を求めよ。

$y=f(x)$ を平方完成して \[y=(x-2)^2+1\] となるので、このグラフをもとに問に答える。

    1. 1-iの図
      $\boldsymbol{0\lt{a}\lt2}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この定義域内では、関数の値は減少するから、最小値は $f(a)=a^2-4a+5$ となる。
    2. 1-iiの図
      $\boldsymbol{2\leqq{a}}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域内に軸 $x=2$ が含まれるから、最小値は $f(2)=1$ となる。
    以上i、iiをまとめると
    • $\boldsymbol{0\lt{a}\lt2}$ のとき、最小値 $f(a)=\boldsymbol{a^2-4a+5}$
    • $\boldsymbol{2\leqq{a}}$ のとき、最小値 $f(2)=\boldsymbol{1}$
    1. 2-iの図
      $\boldsymbol{0\lt{a}\lt4}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の $y$ 座標を比べると、左端の方が大きい。よって、最大値は $f(0)=5$ となる。
    2. 2-iiの図
      $\boldsymbol{4\leqq{a}}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の $y$ 座標を比べると、右端の方が大きい。よって、最大値は $f(a)=a^2-4a+5$ となる。
    以上i、iiをまとめると
    • $\boldsymbol{0\lt{a}\lt4}$ のとき、最大値 $f(0)=\boldsymbol{5}$
    • $\boldsymbol{4\leqq{a}}$ のとき、最大値 $f(a)=\boldsymbol{a^2-4a+5}$

吹き出し無題

$a$ の値を $0$ から増やしていくとき、グラフの最大値・最小値をとる点がいつ変わるのかグラフを描いて考えて、場合分けをしよう。

2次関数の最大・最小の応用

2次関数の知識を利用して、現実にあるさまざまな問題を解くことができる。

2次関数の応用

  1. 長さ $20\text{cm}$ の針金を2つに切り、それぞれの針金で正方形を作るとき、それらの面積の和の最小値を求めよ。また、そのとき針金は何 $\text{cm}$ ずつに切り分けられているか求めよ。
  2. ある品物の売価が1個 $120$ 円のときには、1日の売上個数は $400$ 個であるという。売価を1個につき1円値上げするごとに、1日の売上個数は $2$ 個ずつ減るという。1日の売上金額を最大にするには、売価をいくらに設定すればよいか求めよ。

  1. $20\text{cm}$ の針金を、$4x\text{cm}$ と $(20-4x)\text{cm}$ に切り分けたとする。ただし、$0\lt{x}\lt5$ とする。

    それぞれの針金から作られる正方形の面積は \begin{align} &\dfrac{4x}{4}\times\dfrac{4x}{4}=x\times{x}\\ &\dfrac{20-4x}{4}\times\dfrac{20-4x}{4}=(5-x)\times(5-x) \end{align} となるから、これら2つの正方形の面積の和を $f(x)(\text{cm}^2)$ とすると \begin{align} f(x)=&x^2+(5-x)^2\\ =&x^2+25-10x+x^2\\ =&2x^2-10x+25 \end{align} となる。ここで、$f(x)$ は \begin{align} f(x)=&2\left\{\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}\right\}+25\\ =&2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{25}{2} \end{align}

    1のグラフ
    と変形できるから、$y=f(x)$ のグラフは $0\lt{x}\lt5$ で右図のようになる。

    これより最小値は $f\left(\dfrac{5}{2}\right)$ であるから、面積の和の最小値は $\boldsymbol{\dfrac{25}{2}{\text{cm}}^2}$ であり、$x=10$ のとき最小値となるのだから、針金は $\boldsymbol{10\text{cm}}$ずつに切り分けられる。

  2. 売価を1個 $x$ 円（$120\leqq{x}\leqq320$）とすると、$120$ 円より $(x-120)$ 円値上げしたことになる。その結果、1日の売上個数は、$2(x-120)$ 個減る。

    よって、1日の売上金額 $f(x)$ は \begin{align} f(x)=&x\left\{400-2(x-120)\right\}\\ =&x(640-2x)\\ =&-2x^2+640x \end{align} となる。ここで、$f(x)$ は \begin{align} f(x)=&-2(x^2-320x)\\ =&-2\left\{(x-160)^2-25600\right\}\\ =&-2(x-160)^2+51200 \end{align}

    2のグラフ
    と変形できるから、$y=f(x)$ のグラフは $120\leqq{x}\leqq{320}$ で右図のようになる。

    これより、最大値は $f(160)$ をとるには、$x=160$。つまり、売価を $\boldsymbol{160}$ 円にすればよい。

条件をもつ2次関数の最大・最小

$0{\leqq}x$、$0{\leqq}y$、$2x+y=10$ のとき、$x^2+y^2−3$ の最大値・最小値と、そのときの $x$、$y$ を求めよ。

1のグラフ
1のグラフ

$2x+y=10$ を $y$ について解けば $y=10−2x$。これを $0{\leqq}y$ に代入すれば \begin{align} 0{\leqq}y\Leftrightarrow~&0{\leqq}10-2x\\ \Leftrightarrow~&x\leqq5 \end{align} であり、さらに、$x^2+y^2-3$ に代入すれば \begin{align} x^2+y^2-3&=x^2+(10-2x)^2-3\\ &=5x^2-40x+97 \end{align} である。つまり、$0{\leqq}x\leqq5$ のときに、2次関数 \[5x^2-40x+97\] の最大・最小を求めればよい。この2次関数を $f(x)$ とおいて平方完成すると \[f(x)=5(x-4)^2+17\] そこでグラフ $L=f(x)~(0{\leqq}x\leqq5)$ を描けば、右図のようになり、$f(x)$ の最大値は $f(0)=97$、最小値は $f(4)=17$ とわかる。

$x=0$ のとき $y=10$、$x=4$ のとき $y=2$ であるから、答えは次のようになる。

  • $\boldsymbol{(x,~y)=(0,~10)}$ のとき最大値 $\boldsymbol{97}$
  • $\boldsymbol{(x,~y)=(4,~2)}$ のとき最小値 $\boldsymbol{17}$

式の一部を文字でおく

関数 $y=(x^2-2x)^2+4x^2-8x+5$ について以下の問に答えよ。

  1. $t=x^2-2x$ とするとき、$t$ の値のとりうる範囲を求めよ。
  2. $y$ の値のとりうる範囲を求めよ。

  1. 1のグラフ
    平方完成によって \[t=(x-1)^2-1\] であるので、右図より $\boldsymbol{t\geqq-1}$。
  2. $y$ を $t$ で表し平方完成すれば \begin{align} y&=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+5\\ &=t^2+4t+5\\ &=(t+2)^2+1 \end{align}
    2のグラフ
    となる。1より $-1\leqq{t}$ であるので、$t$ に対する $y$ のグラフは右図のようになる。つまり、$\boldsymbol{y\geqq2}$。