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放物線とx軸の位置関係-判別式D

放物線とx軸の位置関係-判別式D

放物線と x 軸との位置関係については、次の3つのパターンに分けられる。ただし、グラフは下に凸な場合のものである。

  1. x 軸と2つの共有点をもつ
    iの図
  2. x 軸と1つの共有点をもつ
    iiの図
  3. x 軸と共有点をもたない
    iiiの図

y=2(x+2)2−7

$y=2(x+2)^2-7$

たとえば、放物線 y=2x2+8x+1 は平方完成によって y=2x2+8x+1=2{x2+4x}+1=2{(x+2)2−4}+1=2(x+2)2−7 となり、頂点の座標は (−2, −7) とわかる。特に、頂点の y 座標は負であるから、グラフは右上図のようになり、上のパターンiであることがわかる。

このように、2次関数が与えられたとき、頂点の y 座標の符号を調べれば、グラフがこの3つのパターンのうちどれに属するかを知ることができる。

では、一般の放物線 y=ax2+bx+c (a≠0) について考えてみよう。『y=ax2+bx+c のグラフ』で学んだように、平方完成は y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4a となる。そして a>0 の場合は、この頂点の y 座標の値 −b2−4ac4a の負・0・正が上のパターンi・ii・iiiと対応している。

（注）

−b2−4ac4a の符号は、分子の b2−4ac と分母にある a の符号がわかれば確定する。(a の正負は、グラフが下に凸か上に凸かを決めているだけなので、b2−4ac の符号を調べれば2次関数と x 軸との位置関係を判別できる。)そこで、分子に表れる b2−4ac という式を判別式 (discriminant) とよび、D であらわす。

判別式 D の定義

2次関数 y=ax2+bx+c において、b2−4ac を判別式 D とよぶ。つまり D=b2−4ac とする。

いま、この判別式 D の符号に着目して放物線と x 軸との位置関係を調べると、次のようにまとめることができる。

a>0 の図

$a\gt0$ の図

a<0 の図

$a\lt0$ の図

以上の結果について、x 軸との共有点の数だけに着目すれば、a の正負によらず次のようにまとめられる。

判別式 D と放物線の関係

  1. D>0 のとき
    放物線 y=f(x) は x 軸と「2つの共有点をもつ」
  2. D=0 のとき
    放物線 y=f(x) は x 軸と「1つの共有点をもつ」
    このとき、この放物線 y=f(x) は x と接する (contact) といい、この共有点のことを、特に、接点 (point of contact) という。
    この接点の座標は、放物線の頂点に等しく、(−b2a, 0) である。
  3. D<0 のとき
    放物線 y=f(x) は x 軸と「共有点をもたない」

x 軸との共有点の個数の判別

2次関数 y=x2−(k−1)x+14k2+k+1 のグラフと x 軸との共有点の個数は、定数 k の値によってどのように変わるか調べよ。

k の値によるグラフの変化
$k$ の値によるグラフの変化

2次関数 y=x2−(k−1)x+14k2+k+1 の判別式を D とすると D=(k−1)2−4(14k2+k+1)=k2−2k+1−k2−4k−4=−6k−3

  1. −6k−3>0、つまり k<−12 のとき
    D>0 となり、グラフは x 軸と異なる2点で交わる。
  2. −6k−3=0、つまり k=−12 のとき
    D=0 となり、グラフは x 軸と接する。
  3. −6k−3<0、つまり k>−12 のとき
    D<0 となり、グラフは x 軸と共有点をもたない。
以上i～iiiより、共有点の個数は次のようになる。
  • k<12 のとき 2 個
  • k=12 のとき 1 個
  • k>12 のとき 0 個