二等辺三角形を分割する線の長さ

ここでは、平面図形に関して覚えておくべき定理を紹介する。三角形の決定条件を頭に浮かべながら、以下の例題を見てみよう。

二等辺三角形を分割する線の長さ

二等辺三角形を分割する線の長さ

二等辺三角形を分割する線の長さ

右図のような二等辺三角形 $\text{ABC}$ において次の問に答えよ。ただし $b{\gt}c$ とする。

  1. $\text{AD}$ の長さを求めよ。
  2. $\cos\angle\text{ABD}$ の値を求めよ。

  1. $\angle\text{ABD}=\angle\text{ACD}=\theta$ とおき、$\text{AD}=x$ とおく。$\triangle\text{ABD}$ に点 $\text{B}$ からみる余弦定理を用いると
    1の図
    \[\cos\theta=\dfrac{a^2+b^2-x^2}{2ab}\tag{1}\label{nitohensankakkeiwobunkatusurusennonagasa1}\] $\triangle\text{ACD}$ に点 $\text{C}$ からみる余弦定理を用いると \[\cos\theta=\dfrac{a^2+c^2-x^2}{2ac}\tag{2}\label{nitohensankakkeiwobunkatusurusennonagasa2}\] $\eqref{nitohensankakkeiwobunkatusurusennonagasa1}$、$\eqref{nitohensankakkeiwobunkatusurusennonagasa2}$ より \begin{align} &\dfrac{a^2+b^2-x^2}{2ab}=\dfrac{a^2+c^2-x^2}{2ac}\\ \Leftrightarrow~&c(a^2+b^2-x^2)=b(a^2+c^2-x^2)\\ \Leftrightarrow~&(b-c)x^2=ba^2+bc^2-ca^2-cb^2\\ \Leftrightarrow~&(b-c)x^2=a^2(b-c)-bc(b-c)\\ \Leftrightarrow~&(b-c)x^2=(a^2-bc)(b-c) \end{align} $b{\gt}c$ より $b{\neq}c$ なので、両辺を $(b-c)$ で割って \begin{align} &x^2=a^2-bc\\ \therefore~~&\boldsymbol{x=\sqrt{a^2-bc}} \end{align}
  2. 1で求めた $x=\sqrt{a^2-bc}$ を $\eqref{nitohensankakkeiwobunkatusurusennonagasa1}$ に代入して
    $\blacktriangleleft$ 別解として、以下のように補助線を引いて、導くこともできる。
    2の図
    \begin{align} \cos\theta=&\dfrac{a^2+b^2-(a^2-bc)}{2ab}=\dfrac{b^2+bc}{2ab}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{b+c}{2a}} \end{align}