角の2等分線の定理

$\triangle{\text{ABC}}$ において、$\angle{\text{A}}$ の2等分線と辺 $\text{BC}$ との交点を $\text{D}$ とするとき \[\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{DC}\] が成り立つ。

角の2等分線の定理

次の図の $\triangle\text{ABC}$ において、点 $\text{D}$ は $\angle\text{A}$ の二等分線と辺 $\text{BC}$ との交点である。このとき、線分 $\text{BD}$ の長さを求めよ。

角の2等分線の定理の解答

$\text{BD}=x$ とおくと、角の二等分線の定理より、 \begin{align} &\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{DC}\\ &5:4=x:(18-x)\\ &4x=5(18-x)\\ &9x=90\\ &x=10\\ \therefore~&\boldsymbol{\text{BD}=10} \end{align}

三角形の外角の二等分線と比

$\triangle{\text{ABC}}$ において、$\angle{\text{A}}$ の外角の二等分線と辺 $\text{BC}$ の延長線との交点を $\text{D}$ とするとき \[\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{DC}\] が成り立つ。

三角形の外角の二等分線と比

次の図の $\triangle\text{ABC}$ において、点 $\text{D}$ は $\angle\text{A}$ の外角の二等分線と半直線 $\text{BC}$ との交点である。このとき、線分 $\text{CD}$ の長さを求めよ。

三角形の外角の二等分線と比の解答

$\text{CD}=x$ とおくと、外角の二等分線の定理より、 \begin{align} &\text{AB}:\text{AC}=\text{BD}:\text{DC}\\ &7:5=(6+x):x\\ &7x=5(6+x)\\ &2x=30\\ &x=15\\ \therefore~&\boldsymbol{\text{CD}=15} \end{align}