集合の要素の個数の表し方

（注）

集合 $A$ の要素の個数を $\boldsymbol{n(A)}$ で表す。

例えば、集合 $A$ を1桁の奇数、すなわち \[A=\{1,3,5,7,9\}\] とすると、$n(A)=5$ となる。空集合 $\emptyset$ には要素がないので、$n(\emptyset)=0$ とする。

集合 $A$ と $B$ が等しいとき、$A$ と $B$ の要素の個数も当然等しい、すなわち \[A=Bならばn(A)=n(B)\] が成り立つ。これより、集合の性質～その1～、集合の性質～その2～ でみた集合に関する等式は、集合の要素の個数の場合にもそのまま成り立ち、次のようにまとめられる。

要素の個数の基本


  1. \begin{align} &n((A\cup{B})\cup{C})\\ =&n(A\cup(B\cup{C}))\\ =&n(A\cup{B}\cup{C}) \end{align} \begin{align} &n((A\cap{B})\cap{C})\\ =&n(A\cap(B\cap{C}))\\ =&n(A\cap{B}\cap{C}) \end{align}

  2. \begin{align} &n(A\cup(B\cap{C}))\\ =&n((A\cup{B})\cap(A\cup{C})) \end{align} \begin{align} &n(A\cap(B\cup{C}))\\ =&n((A\cap{B})\cup(A\cap{C})) \end{align}
  3. $n(\overline{\overline{A}})=n(A)$
  4. $n(A\cup\overline{A})=n(U)$、$n(A\cap\overline{A})=0$
  5. ド・モルガンの法則
    $n(\overline{A\cup{B}})=n(\overline{A}\cap\overline{B})$、$n(\overline{A\cap{B}})=n(\overline{A}\cup\overline{B})$