集合の要素の個数
集合の表し方より、有限集合の要素の個数は数えることができる。ここでは、集合の要素の個数の表し方や、集合の要素の個数についてに成り立つ関係式を見ていこう。
集合の要素の個数の表し方
集合の要素の個数の表し方
集合 $A$ の要素の個数を $\boldsymbol{n(A)}$ で表す。
例えば、集合 $A$ を1桁の奇数、すなわち \[A=\{1,3,5,7,9\}\] とすると、$n(A)=5$ となる。空集合 $\emptyset$ には要素がないので、$n(\emptyset)=0$ とする。
集合 $A$ と $B$ が等しいとき、$A$ と $B$ の要素の個数も当然等しい、すなわち \[A=Bならばn(A)=n(B)\] が成り立つ。これより、集合の性質～その1～、集合の性質～その2～ でみた集合に関する等式は、集合の要素の個数の場合にもそのまま成り立ち、次のようにまとめられる。
要素の個数の基本
\begin{align} &n((A\cup{B})\cup{C})\\ =&n(A\cup(B\cup{C}))\\ =&n(A\cup{B}\cup{C}) \end{align} \begin{align} &n((A\cap{B})\cap{C})\\ =&n(A\cap(B\cap{C}))\\ =&n(A\cap{B}\cap{C}) \end{align}
\begin{align} &n(A\cup(B\cap{C}))\\ =&n((A\cup{B})\cap(A\cup{C})) \end{align} \begin{align} &n(A\cap(B\cup{C}))\\ =&n((A\cap{B})\cup(A\cap{C})) \end{align}- $n(\overline{\overline{A}})=n(A)$
- $n(A\cup\overline{A})=n(U)$、$n(A\cap\overline{A})=0$
- ド・モルガンの法則
$n(\overline{A\cup{B}})=n(\overline{A}\cap\overline{B})$、$n(\overline{A\cap{B}})=n(\overline{A}\cup\overline{B})$
直積の要素の個数
直積の要素の個数
集合 $A$ の要素の個数 $n(A)=l$、集合 $B$ の要素の個数 $n(B)=m$ とする。
$A$ と $B$ の直積 $A\times{B}$ は、$A$ の要素 $l$ 個それぞれに対して $B$ の要素 $m$ 個を対応させることによって作られるので、$n(A\times{B})=l\times{m}$ が成り立つ。
直積の要素の個数
集合 $A$、$B$ と、その直積 $A\times{B}$ の要素の個数に関して \[n(A\times{B})=n(A)\cdot{n(B)}\] が成り立つ。
和集合の要素の個数（包含と排除の原理）
和集合の要素の個数（包含と排除の原理）
包含と排除の原理の図
全体集合を $U$ とする、2つの集合 $A$、$B$ について
\[n(A)=a~,~n(B)=b~,~n(A\cap{B})=p\]
であるとすると図のようになるので
\[n(A\cap\overline{B})=a-p~,~n(\overline{A}\cap{B})=b-p\]
となるのがわかる。これより
\begin{align}
&n(A\cup{B})\\
=&\ (a-p)+p+(b-p)\\
=&a+b-p\\
=&\ n(A)+n(B)-n(A\cap{B})
\end{align}
が成り立ち、これを
包含と排除の原理（2集合版）
2つの集合 $A$、$B$ に関して \[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\] が成り立つ。
特に、$A\cap{B}=\emptyset$ のときには、$n(A\cup{B})=n(A)+n(B)$ となる。
吹き出し和集合の要素の個数（包含と排除の原理）
$n(A\cup{B})$ の要素の個数を数えるのに、$n(A)$ と $n(B)$ を加えたのでは、$n(A\cap{B})$ を2回数えたことになる。そこで、余分な1回分の $n(A\cap{B})$ を引くのだと考えると覚えやすい。イメージは図のようになる。
包含と排除の原理のイメージ
包含と排除の原理（2集合版）
$U=\{x|xは100以下の自然数\}$ を全体集合とし、$A=\{x|xは3の倍数\}$、$B=\{x|xは5の倍数\}$ とするとき、次の値を求めよ。
- $n(A)$
- $n(B)$
- $n(A\cap{B})$
- $n(A\cup{B})$
- $100\div3=33$ あまり $1$ より \[A=\{3\times1,~3\times2,~\cdots,~3\times33\}\] となるのがわかる。よって、$n(A)=\boldsymbol{33}$ である。
- $100\div5=20$ より \[B=\{5\times1,~5\times2,~\cdots,~5\times20\}\] となるのがわかる。よって、$n(B)=\boldsymbol{20}$ である。
$A\cap{B}$ は、$3$ の倍数でかつ $5$ の倍数の集合だから、結局 $15$ の倍数の集合である。
$100\div15=6$ あまり $10$ より \[A\cap{B}=\{15\times1,~15\times2,~\cdots,~15\times6\}\] となるのがわかる。よって、$n(A\cap{B})=\boldsymbol{6}$ である。
- 和集合の要素の個数に関して
$\blacktriangleleft$ 包含と排除の原理（2集合版）参照\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\] が成り立つから、1～3より \[n(A\cup{B})=33+20-6=\boldsymbol{47}\]
暗記包含と排除の原理（3集合版）の導出
2つの集合に関する包含と排除の原理 \[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\] を使い、3つの集合に関する包含と排除の原理 \begin{align} &n(A\cup{B}\cup{C})\\ =&\ n(A)+n(B)+n(C)\\ &\quad-n(A\cap{B})-n(B\cap{C})-n(C\cap{A})\\ &\quad+n(A\cap{B}\cap{C}) \end{align} が成り立つのを証明せよ。
\begin{align} &n(A\cup{B}\cup{C})\\ =&n\{(A\cup{B})\cup{C}\}\\ =&n(A\cup{B})+n(C)-n\{(A\cup{B})\cap{C}\}\\ &\blacktriangle~A\cup{B}を1かたまりとして、\\ &\quad『包含と排除の原理（2集合版）』を使った\\ =&\underbrace{n(A\cup{B})}_{\bigcirc}-\underbrace{n\{(A\cup{B})\cap{C}\}}_{\diamondsuit}+n(C)\\ =&\underbrace{n(A)+n(B)-n(A\cap{B})}_{\bigcirc}\\ &-\underbrace{n\{(A\cap{C})\cup(B\cap{C})\}}_{\diamondsuit}+n(C)\\ &\blacktriangle~\bigcircの部分は『包含と排除の原理\\ &\quad（2集合版）』を、\diamondsuitの部分は\\ &\quad『要素の個数の基本 \text{ii}』を使った\\ =&n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\\ &-\underbrace{n(A\cap{C})-n(B\cap{C})}_{\diamondsuit}\\ &\underbrace{+n\{(A\cap{C})\cap(B\cap{C})\}}_{\diamondsuit}+n(C)\\ &\blacktriangle~さらに\diamondsuitに\\ &\quad『包含と排除の原理（2集合版）』を使った\\ =&n(A)+n(B)+n(C)\\ &-n(A\cap{B})-n(B\cap{C})-n(C\cap{A})\\ &+n\{(A\cap{C})\cap(B\cap{C})\}\\ =&n(A)+n(B)+n(C)\\ &-n(A\cap{B})-n(B\cap{C})-n(C\cap{A})\\ &+n\{(A\cap(C\cap{B}\cap{C})\}\\ &\blacktriangle~B\cap{C}を1かたまりとして、\\ &\quad要素の個数の基本を使った\\ =&n(A)+n(B)+n(C)\\ &-n(A\cap{B})-n(B\cap{C})-n(C\cap{A})\\ &+n(A\cap{B}\cap{C})\\ &\blacktriangle~C\cap{C}=C~『共通部分』 \end{align}
包含と排除の原理（3集合版）
3つの集合$A$、$B$、$C$ に関して \begin{align} &n(A\cup{B}\cup{C})\\ =&n(A)+n(B)+n(C)\\ &\quad-n(A\cap{B})-n(B\cap{C})\\ &\quad-n(C\cap{A})+n(A\cap{B}\cap{C}) \end{align} が成り立つ。
吹き出し和集合の要素の個数（包含と排除の原理）
包含と排除の原理（3集合版）の図
3集合の場合の包含と排除の原理も、包含と排除の原理（2集合版）の場合と似ている。$n(A\cup{B}\cup{C})$ を数えるのに、これを包み込む $n(A)+n(B)+n(C)$ をまず計算する。すると、重なっている部分ができてしまうので、$n(A\cap{B})+n(B\cap{C})+n(C\cap{A})$ を引くことにより除外する。しかし、これでは3つの集合が重なった部分を引きすぎてしまうので、最後に $n(A\cap{B}\cap{C})$ を加えておく。図で確認してみよう。
補集合の要素の個数
“着目しないもの”に着目する
白丸と黒丸
図の中にある白丸(○)の個数を数えるには、実際に白丸の個数を数えるのではなく、丸が横に12個、縦に10個、計120個並んでいるのを確認し、そこから黒丸(●)の個数を引くのが よい。つまり \begin{align} &(白丸の個数)=12\times10-8=112\\ &\quad\therefore~112個 \end{align} と数えるのがよい。
このように、着目しないもの(●)の個数を全体の個数から引くことによって、着目するもの(○)の個数を数えることができ、集合では次のようにまとめられる。
補集合の要素の個数について
全体集合と補集合
全体集合を $U$ とする。集合 $A$ と、その補集合 $\overline{A}$ について \[A\cup\overline{A}=U~,~A\cap\overline{A}=\emptyset\] であるから、包含と排除の原理（2集合版）より \[n(U)=n(A)+n(\overline{A})\] となる。
補集合の要素の個数
全体集合を $U$ とする集合 $A$ と、その補集合 $\overline{A}$ に関して \[n(\overline{A})=n(U)-n(A)\] が成り立つ。
吹き出し補集合の要素の個数について
このことは、ある集合 $A$ の要素の個数を数えるのが大変な場合、むしろ $A$ の補集合 $\overline{A}$ の要素の個数に着目すべきである、ということを教えてくれる。
補集合の要素の個数と包含と排除の原理
総世帯数が $191$ のある地区では、新聞をとっている世帯が $170$ ある。このうちA新聞をとっている世帯は $89$、B新聞をとっている世帯は $108$ ある。その他の新聞はこの地区には無いものとして、以下の問に答えよ。
- この地区では新聞をとっていない世帯はいくつか。
- A、B両方の新聞をとっている世帯はいくつか。
- $U:$｢ある地区の総世帯｣
- $A:$｢A新聞をとっている世帯｣
- $B:$｢B新聞をとっている世帯｣
- 新聞をとっている世帯は $A\cup{B}$ と表せるので、新聞をとっていない世帯は $\overline{A\cup{B}}$ となる。
$\blacktriangleleft$ 補集合の要素の個数参照\begin{align} &n(\overline{A\cup{B}})\\ =&n(U)-n(A\cup{B})\\ =&191-170\\ =&\boldsymbol{21} \end{align}
- A、B両方の新聞をとっている世帯は $A\cap{B}$ と表される。和集合の要素の個数に関して
$\blacktriangleleft$ 包含と排除の原理（2集合版）参照\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\] が成り立つから \begin{align} n(A\cap{B})=&\ n(A)+n(B)-n(A\cup{B})\\ =&\ 89+108-170=\boldsymbol{27} \end{align}
補集合の要素の個数と包含と排除の原理（3集合版）
$300$ 人の高校生にA、B、Cの3種のテストを行った。Aテストに $102$ 人、Bテストに $152$ 人、Cテストに $160$ 人が合格したが、これらの中で、A、B両テストに $42$ 人、B、C両テストに $62$ 人、C、A両テストに $32$ 人が合格している。3種のテストのどれにも合格しなかった人は $10$ 人であった。このとき、3種のテストにすべて合格した人は何人か。
- $U:$｢テストを受けた高校生全員｣
- $A:$｢Aテストに合格した人｣
- $B:$｢Bテストに合格した人｣
- $C:$｢Cテストに合格した人｣