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1次不等式の解法

1次不等式の解法とは

不等式 2x+3>4 を満たす x はどのような値だろうか。

たとえば、x=2x=5(1) を満たすが、x=0x=2(1) を満たさない。

一般に、不等式を満たす x の値をその不等式の解 (solution) といい、すべての解を求めることを不等式を解く (solve) という。では、実際にこの不等式 (1) を解いてみよう。 2x+3>4 2x>43 2x>1 x>12 これが、不等式 (1) の解である。つまり、x12 より大きければ、(1) を満たす。

不等式を移項して整理することにより 1>0,1 などの形に変形できる不等式を、一般に1次不等式 (linearinequality) という。

連立不等式

x が満たすべき不等式が2つ以上あるとき、それらをまとめて連立不等式 (simultaneous inequalities) という。連立不等式を解くとは、全ての不等式を同時に満たす x の範囲を求めることである。

連立不等式

  1. \begin{cases} \dfrac{11}{4}x-\dfrac{3}{2}\gt 2x-5\\ \dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \end{cases}
  2. \begin{cases} 0.25x-0.18\geqq 0.6-0.14x\\ \dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \end{cases}

  1. まず、\dfrac{11}{4}x-\dfrac{3}{2}\gt2x-5 を解く。 \begin{align} &\dfrac{11}{4}x-\dfrac{3}{2}\gt2x-5\\ \Leftrightarrow~&11x-6\gt8x-20\\ \Leftrightarrow~&3x\gt-14\\ \Leftrightarrow~&x\gt-\dfrac{14}{3}\tag{1}\label{renritufutosiki1} \end{align} 次に、\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} を解く。 \begin{align} &\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow~&4x+1\leqq-3x-9\\ \Leftrightarrow~&7x\leqq-10\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-\dfrac{10}{7}\tag{2}\label{renritufutosiki2} \end{align}
    1の図
    以上の \eqref{renritufutosiki1}\eqref{renritufutosiki2} を共通して満たす x\boldsymbol{-\dfrac{14}{3}\lt{x}\leqq-\dfrac{10}{7}}
  2. まず、0.25x-0.18\geqq0.6-0.14x を解く。 \begin{align} &0.25x-0.18\geqq0.6-0.14x\\ \Leftrightarrow~&25x-18\geqq60-14x\\ \Leftrightarrow~&39x\geqq78\\ \Leftrightarrow~&x\geqq2\tag{3}\label{renritufutosiki3} \end{align} 次に、\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} を解く。 \begin{align} &\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow~&4x+1\leqq-3x-9\\ \Leftrightarrow~&7x\leqq-10\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-\dfrac{10}{7}\tag{4}\label{renritufutosiki4} \end{align}
    2の図
    以上の \eqref{renritufutosiki3}\eqref{renritufutosiki4} を共通して満たす x は、存在しないので、答えは解なし
    \blacktriangleleft 条件を満たす x の値がない場合はこのように答える

1次不等式の応用

1次不等式の応用

  1. \text{A} 地点から 15\text{km} 離れた \text{B} 地点まで歩いた。はじめは急ぎ足で毎時 5\text{km}、途中から疲れたので毎時 3\text{km} の速さで歩いた。所要時間が 4 時間以内のとき、急ぎ足で何 \text{km} 以上歩いたか求めよ。
  2. 5\% の食塩水と 8\% の食塩水がある。5\% の食塩水 800\text{g}8\% の食塩水を何 \text{g} か混ぜて、6\% 以上の食塩水を作りたい。8\% の食塩水を何 \text{g} 以上混ぜればよいか求めよ。

  1. 急ぎ足で歩いた距離を x\text{km} として、x について解けばよい。

    1の図

    疲れて歩いた距離は (15−x)\text{km} となり、歩くのにかかる時間はそれぞれ、\dfrac{x}{5} 時間、\dfrac{15-x}{3} 時間となる。

    \blacktriangleleft \dfrac{(道のり)}{(速さ)}=(時間)

    全体の所要時間は 4 時間以内であるから \dfrac{x}{5}+\dfrac{15-x}{3}\leqq4 を満たす x を求めればよい。 \begin{align} &\dfrac{x}{5}+\dfrac{15-x}{3}\leqq4\\ \Leftrightarrow~&3x+5(15-x)\leqq60\\ \Leftrightarrow~&3x+75-5x\leqq60\\ \Leftrightarrow~&-2x\leqq-15\\ \Leftrightarrow~&x\geqq\dfrac{15}{2}=7.5 \end{align}

    \blacktriangleleft 負の数を掛ける・割るときは逆符号

    よって、急ぎ足では7.5km以上歩いた。

  2. 8\% の食塩水を x\text{g} 混ぜるとして、x について解けばよい。

    食塩水の量(g)食塩の量(g)
    5\%800\dfrac{5}{100}\times800
    8\%x\dfrac{8}{100}x
    800+x\dfrac{5}{100}\times 800+\dfrac{8}{100}x

    5\% の食塩水 800\text{g} の中には \left(\dfrac{5}{100}\times800\right)\text{g} の食塩が溶けている。また、混ぜる 8\% の食塩水 x\text{g} の中には、\left(\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\text{g} の食塩が溶けている。

    これらを混ぜて、濃度が 6\% 以上になるから \begin{align} &\left(\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\\ &\qquad\div(800+x)\geqq\dfrac{6}{100} \end{align} を満たす x を求めればよい。 \begin{align} &\left(\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\\ &\qquad\div(800+x)\geqq\dfrac{6}{100}\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\\ &\qquad\geqq\dfrac{6}{100}\times(800+x)\\ \Leftrightarrow~&5\times800+8\times\text{x}\geqq6\times(800+x)\\ \Leftrightarrow~&4000+8x\geqq4800+6x\\ \Leftrightarrow~&2x\geqq800\\ \Leftrightarrow~&x\geqq400 \end{align} よって、8\% の食塩水は 400\text{g} 以上混ぜればよい。