1次不等式の解法

1次不等式の解法とは

不等式 \[2x+3\gt4\cdots\tag{1}\label{futosikinokaihotoha}\] を満たす $x$ はどのような値だろうか。

たとえば、$x=2$ や $x=5$ は $\eqref{futosikinokaihotoha}$ を満たすが、$x=0$ や $x=-2$ は $\eqref{futosikinokaihotoha}$ を満たさない。

一般に、不等式を満たす $x$ の値をその不等式の解 (solution) といい、すべての解を求めることを不等式を解く (solve) という。では、実際にこの不等式 $\eqref{futosikinokaihotoha}$ を解いてみよう。 \begin{align} &2x+3\gt4\\ \Leftrightarrow~&2x\gt4-3&\\ \Leftrightarrow~&2x\gt1\\ \Leftrightarrow~&x\gt\dfrac{1}{2} \end{align} これが、不等式 $\eqref{futosikinokaihotoha}$ の解である。つまり、$x$ は $\dfrac{1}{2}$ より大きければ、$\eqref{futosikinokaihotoha}$ を満たす。

不等式を移項して整理することにより \[（1次式）\gt0,（1次式）\leqq0\] などの形に変形できる不等式を、一般に1次不等式 (linearinequality) という。

連立不等式

$x$ が満たすべき不等式が2つ以上あるとき、それらをまとめて連立不等式 (simultaneous inequalities) という。連立不等式を解くとは、全ての不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求めることである。

連立不等式

  1. \begin{cases} \dfrac{11}{4}x-\dfrac{3}{2}\gt 2x-5\\ \dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \end{cases}
  2. \begin{cases} 0.25x-0.18\geqq 0.6-0.14x\\ \dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq -\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2} \end{cases}

  1. まず、$\dfrac{11}{4}x-\dfrac{3}{2}\gt2x-5$ を解く。 \begin{align} &\dfrac{11}{4}x-\dfrac{3}{2}\gt2x-5\\ \Leftrightarrow~&11x-6\gt8x-20\\ \Leftrightarrow~&3x\gt-14\\ \Leftrightarrow~&x\gt-\dfrac{14}{3}\tag{1}\label{renritufutosiki1} \end{align} 次に、$\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}$ を解く。 \begin{align} &\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow~&4x+1\leqq-3x-9\\ \Leftrightarrow~&7x\leqq-10\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-\dfrac{10}{7}\tag{2}\label{renritufutosiki2} \end{align}
    1の図
    以上の $\eqref{renritufutosiki1}$、$\eqref{renritufutosiki2}$ を共通して満たす $x$ は $\boldsymbol{-\dfrac{14}{3}\lt{x}\leqq-\dfrac{10}{7}}$
  2. まず、$0.25x-0.18\geqq0.6-0.14x$ を解く。 \begin{align} &0.25x-0.18\geqq0.6-0.14x\\ \Leftrightarrow~&25x-18\geqq60-14x\\ \Leftrightarrow~&39x\geqq78\\ \Leftrightarrow~&x\geqq2\tag{3}\label{renritufutosiki3} \end{align} 次に、$\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}$ を解く。 \begin{align} &\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{6}\leqq-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow~&4x+1\leqq-3x-9\\ \Leftrightarrow~&7x\leqq-10\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-\dfrac{10}{7}\tag{4}\label{renritufutosiki4} \end{align}
    2の図
    以上の $\eqref{renritufutosiki3}$、$\eqref{renritufutosiki4}$ を共通して満たす $x$ は、存在しないので、答えは解なし
    $\blacktriangleleft$ 条件を満たす $x$ の値がない場合はこのように答える

1次不等式の応用

1次不等式の応用

  1. $\text{A}$ 地点から $15\text{km}$ 離れた $\text{B}$ 地点まで歩いた。はじめは急ぎ足で毎時 $5\text{km}$、途中から疲れたので毎時 $3\text{km}$ の速さで歩いた。所要時間が $4$ 時間以内のとき、急ぎ足で何 $\text{km}$ 以上歩いたか求めよ。
  2. $5\%$ の食塩水と $8\%$ の食塩水がある。$5\%$ の食塩水 $800\text{g}$ と $8\%$ の食塩水を何 $\text{g}$ か混ぜて、$6\%$ 以上の食塩水を作りたい。$8\%$ の食塩水を何 $\text{g}$ 以上混ぜればよいか求めよ。

  1. 急ぎ足で歩いた距離を $x\text{km}$ として、$x$ について解けばよい。

    1の図

    疲れて歩いた距離は $(15−x)\text{km}$ となり、歩くのにかかる時間はそれぞれ、$\dfrac{x}{5}$ 時間、$\dfrac{15-x}{3}$ 時間となる。

    $\blacktriangleleft$ $\dfrac{（道のり）}{（速さ）}=（時間）$

    全体の所要時間は $4$ 時間以内であるから \[\dfrac{x}{5}+\dfrac{15-x}{3}\leqq4\] を満たす $x$ を求めればよい。 \begin{align} &\dfrac{x}{5}+\dfrac{15-x}{3}\leqq4\\ \Leftrightarrow~&3x+5(15-x)\leqq60\\ \Leftrightarrow~&3x+75-5x\leqq60\\ \Leftrightarrow~&-2x\leqq-15\\ \Leftrightarrow~&x\geqq\dfrac{15}{2}=7.5 \end{align}

    $\blacktriangleleft$ 負の数を掛ける・割るときは逆符号

    よって、急ぎ足では$7.5$km以上歩いた。

  2. $8\%$ の食塩水を $x\text{g}$ 混ぜるとして、$x$ について解けばよい。

    食塩水の量(g)食塩の量(g)
    $5\%$$800$$\dfrac{5}{100}\times800$
    $8\%$$x$$\dfrac{8}{100}x$
    $800+x$$\dfrac{5}{100}\times 800+\dfrac{8}{100}x$

    $5\%$ の食塩水 $800\text{g}$ の中には $\left(\dfrac{5}{100}\times800\right)\text{g}$ の食塩が溶けている。また、混ぜる $8\%$ の食塩水 $x\text{g}$ の中には、$\left(\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\text{g}$ の食塩が溶けている。

    これらを混ぜて、濃度が $6\%$ 以上になるから \begin{align} &\left(\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\\ &\qquad\div(800+x)\geqq\dfrac{6}{100} \end{align} を満たす $x$ を求めればよい。 \begin{align} &\left(\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\right)\\ &\qquad\div(800+x)\geqq\dfrac{6}{100}\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{5}{100}\times800+\dfrac{8}{100}\times\text{x}\\ &\qquad\geqq\dfrac{6}{100}\times(800+x)\\ \Leftrightarrow~&5\times800+8\times\text{x}\geqq6\times(800+x)\\ \Leftrightarrow~&4000+8x\geqq4800+6x\\ \Leftrightarrow~&2x\geqq800\\ \Leftrightarrow~&x\geqq400 \end{align} よって、$8\%$ の食塩水は $400\text{g}$ 以上混ぜればよい。