$90^\circ+\theta$ の三角比

図のように、単位円周上に角$\theta$ の動径 $\text{OP}$ と角 $90^\circ+\theta(=\theta'とする)$ の動径 $\text{OP'}$ をとる。

$90^\circ+\theta$ の三角比

点 $\text{P}$ の座標を $(x,y)$ とすると、$\triangle\text{OPQ}$ と $\triangle\text{OP'Q'}$ は合同なので、点 $\text{P'}$ の座標は $(-y,x)$ となるから \[\sin\theta'=x=\cos\theta\] \[\cos\theta'=y=-\sin\theta\] \[\tan\theta'=\dfrac{x}{-y}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{\tan\theta}\] と表すことができる。

ここで、$\theta'=90^\circ+\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。

吹き出し$90^\circ+\theta$ の三角比

「$90^\circ+\theta$ の三角比は $\theta$ だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式は暗記するようなものではない。必要なときに、上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい。

これより、$90^\circ\lt\theta\leqq180^\circ$ の三角比は、$0^\circ\lt\theta\leqq90^\circ$ の三角比になおして、その値を求めることができる。