拡張された三角比の相互関係

拡張された三角比の相互関係について

拡張された三角比においても、三角比の相互関係で学んだ三角比の相互関係 \begin{align} &\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta},~\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\ &1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta},~\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta} \end{align} が成り立つ。以下でこれらのことを確認してみよう。

拡張された三角比の相互関係

拡張された三角比の相互関係

図の単位円において \[\cos\theta=x~,~\sin\theta=y\] であるから、$\tan\theta$ は \[\tan{\theta}=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\] と表すことができる。つまり \[\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\tag{1}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite1}\] が成り立つ。また、三平方の定理より、$x^2+y^2=1$ であるから \[\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\tag{2}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite2}\] が成り立ち、$\eqref{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite2}$ の両辺を $\sin^2\theta$ で割って、$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いると \begin{align} &1+\dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}\\ \therefore~~&1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}\tag{3}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite3} \end{align} また、$\eqref{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite2}$ の両辺を $\cos^2\theta$ で割って、$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を用いると \begin{align} &\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\\ \therefore~~&\tan^2\theta+1=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\tag{4}\label{kakutyosaretasankakuhinosougokankenituite4} \end{align}

拡張された三角比の相互関係

角 $\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ のとき、次の式が成り立つ。

  1. $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の関係 \[\tan{\theta}=\dfrac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}\]
  2. $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の関係 \[\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\]
  3. $\tan\theta$ と $\sin\theta$ の関係 \[1+\dfrac{1}{\tan^2{\theta}}=\dfrac{1}{\sin^2{\theta}}\]
  4. $\cos\theta$ と $\tan\theta$ の関係 \[\tan^2{\theta}+1=\dfrac{1}{\cos^2{\theta}}\]

三角比どうしの関係と同じ問を、拡張された三角比の相互関係を使って解いてみよう。ただし、今回は $0^\circ$ から $180^\circ$ までの範囲で考える。

拡張された三角比の相互関係の利用

拡張された三角比の相互関係を使って次の問に答えよ。ただし $0^\circ\leqq\alpha\leqq 180^\circ$ である。

  1. $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ のとき、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$ の値を求めよ。
  2. $\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$ のとき、$\sin\alpha$、$\tan\alpha$ の値を求めよ。
  3. $\tan\alpha=7$ のとき、$\cos\alpha$、$\sin\alpha$ の値を求めよ。

  1. $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ \begin{align} \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25} \end{align} よって、$\cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\boldsymbol{\pm\dfrac{4}{5}}$。

    $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    また、$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ より、
    $\blacktriangleleft$ $\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5},~\tan\alpha=\pm\dfrac{3}{4}$（複合同順）と書いてもよい
    \begin{align} &\cos\alpha=\dfrac{4}{5}のとき\tan\alpha=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}\\ &\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}のとき\\ &\tan\alpha=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}}=\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}} \end{align}

  2. $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ より \begin{align} \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9} \end{align}
    $\blacktriangleleft$ $0^\circ\leqq\alpha\leqq180^\circ$ のとき、定義から $\sin\alpha\geqq0$。
    $\sin\alpha\geqq0$ なので、$\sin\alpha=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$。

    $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    また、$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ より \begin{align} \tan\alpha=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{1}{3}}=\boldsymbol{2\sqrt{2}} \end{align}

  3. $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    $\tan^2\alpha+1=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ より \begin{align} \cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}=\dfrac{1}{1+7^2}=\dfrac{1}{50} \end{align} よって、$\cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{1}{50}}=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{10}$ である。

    $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    また、$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ より \begin{align} &7=\dfrac{\sin\alpha}{\pm\dfrac{\sqrt{2}}{10}}\\ \therefore~~&\sin\alpha=7\times\left(\pm\dfrac{\sqrt{2}}{10}\right)=\pm\dfrac{7\sqrt{2}}{10} \end{align}
    $\blacktriangleleft$ $\tan\alpha$ の値が正であるから、$\cos\alpha$ の値も正である
    $0\leqq\sin\alpha$ であるので、$\sin\alpha=-\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$ は不適。

    よって \[\boldsymbol{\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{10}~,~\sin\alpha=\dfrac{7\sqrt{2}}{10}}\]

三角比の計算

次の式を簡単にせよ。

  1. $(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2$
  2. $\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}-\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$

  1. $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    \begin{align} &(\sin \theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2\\ =&\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\\ &\qquad+\sin^2\theta -2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta\\ =&2(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\ =&\boldsymbol{2} \end{align}
  2. $\blacktriangleleft$ 拡張された三角比の相互関係より
    \begin{align} &\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}-\dfrac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\\ =&\dfrac{\cos\theta\left(1-\sin\theta\right)-\cos\theta\left(1+\sin\theta\right)} {\left(1+\sin\theta\right)\left(1-\sin\theta\right)}\\ =&\dfrac{-2\cos\theta\sin\theta}{1-\sin^2\theta}\\ =&-\dfrac{2\cos\theta\sin\theta}{\cos^2\theta}\\ =&-\dfrac{2\sin\theta}{\cos\theta}\\ =&\boldsymbol{-2\tan\theta} \end{align}

$90^\circ+\theta$ の三角比

図のように、単位円周上に角$\theta$ の動径 $\text{OP}$ と角 $90^\circ+\theta(=\theta'とする)$ の動径 $\text{OP'}$ をとる。

$90^\circ+\theta$ の三角比

$90^\circ+\theta$ の三角比

点 $\text{P}$ の座標を $(x,y)$ とすると、$\triangle\text{OPQ}$ と $\triangle\text{OP'Q'}$ は合同なので、点 $\text{P'}$ の座標は $(-y,x)$ となるから \[\sin\theta'=x=\cos\theta\] \[\cos\theta'=y=-\sin\theta\] \[\tan\theta'=\dfrac{x}{-y}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{1}{\tan\theta}\] と表すことができる。

ここで、$\theta'=90^\circ+\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。

$90^\circ+\theta$ の三角比

$90^\circ+\theta$ の三角比

$90^\circ+\theta$ の三角比

角 $\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq90^\circ$ の三角比において \[\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta\] \[\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta\] \[\tan(90^\circ+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}\] が成り立つ。

吹き出し$90^\circ+\theta$ の三角比

「$90^\circ+\theta$ の三角比は $\theta$ だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式は暗記するようなものではない。必要なときに、上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい。

これより、$90^\circ\lt\theta\leqq180^\circ$ の三角比は、$0^\circ\lt\theta\leqq90^\circ$ の三角比になおして、その値を求めることができる。

$90^\circ+\theta$ の三角比の利用

次の式を満たすように $\fbox{A}$ の中に $90^\circ$ より小さい角を入れよ。

  1. $\sin100^\circ=\cos\fbox{A}$
  2. $\cos179^\circ=-\sin\fbox{A}$
  3. $\tan125^\circ=-\dfrac{1}{\tan\fbox{A}}$

  1. $\blacktriangleleft$ $\sin(90^\circ+\theta)=\cos\theta$
    $\sin100^\circ=\sin(90^\circ+10^\circ)=\cos10^\circ$
  2. $\blacktriangleleft$ $\cos(90^\circ+\theta)=-\sin\theta$
    $\cos179^\circ=\cos(90^\circ+89^\circ)=-\sin89^\circ$
  3. $\blacktriangleleft$ $\tan(90^\circ+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$
    $\tan125^\circ=\tan(90^\circ+35^\circ)=-\dfrac{1}{\tan35^\circ}$

$180^\circ-\theta$ の三角比

図のように、単位円周上に角 $\theta$ の動径 $\text{OP}$ と角 $180^\circ-\theta(=θ'とする)$ の動径 $\text{OP'}$ をとる。

$180^\circ-\theta$ の三角比

$180^\circ-\theta$ の三角比

点 $\text{P}$ の座標を $(x,y)$ とすると、点 $\text{P'}$ の座標は $(-y,x)$ となるから \[\sin\theta'=y=\sin\theta\] \[\cos\theta'=-x=-\cos\theta\] \[\tan\theta'=\dfrac{y}{-x}=-\dfrac{y}{x}=-\tan\theta\] と表すことができる。

ここで、$\theta'=180^\circ-\theta$ であるから、次のようにまとめることができる。

$180^\circ-\theta$ の三角比

角$\theta$ が $0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ$ の三角比において \[\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\] \[\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\] \[\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\] が成り立つ。

吹き出し$180^\circ-\theta$ の三角比

「$180^\circ-\theta$ の三角比は $\theta$ だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式も暗記するようなものではない。やはり、必要なときに、上の図を描いて素早く導出できるようにしておけばよい。

これからも、$90^\circ\lt\theta\leqq180^\circ$ の三角比は、$0^\circ\lt\theta\leqq90^\circ$ の三角比になおして、その値を求めることができる。

$180^\circ-\theta$ の三角比の利用

次の式を満たすように $\fbox{A}$ の中に $90^\circ$ より小さい角を入れよ。

  1. $\sin100^\circ=\sin\fbox{A}$
  2. $\cos179^\circ=-\cos\fbox{A}$
  3. $\tan125^\circ=-\tan\fbox{A}$

  1. $\blacktriangleleft$ $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$
    $\sin100^\circ=\sin(180^\circ-80^\circ)=\sin80^\circ$
  2. $\blacktriangleleft$ $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$
    $\cos179^\circ=\cos(180^\circ-1^\circ)=-\cos1^\circ$
  3. $\blacktriangleleft$ $\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$
    $\tan125^\circ=\tan(180^\circ-55^\circ)=-\tan55^\circ$