2次方程式と2次関数の関係

$\fbox{A}=\boldsymbol{21}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{0}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{D}=\boldsymbol{2}$

$\blacktriangleleft~\fbox{A}$の計算　$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)=21$

$\blacktriangleleft~\fbox{C}$、$\fbox{A}$、$\fbox{D}$の計算　$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm\sqrt{21}}{2}$

1. 

   判別式を $D$ とすると $$D=(-1)^2-4\cdot(-1)=5\gt0$$ なので、$\boldsymbol{x}$軸と2つの共有点をもつ。

   また $$\begin{align} &x^2-x-1=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ 2次方程式の解の公式
   だから、このグラフと $x$ 軸の共有点の座標は$\boldsymbol{\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}~,~0\right)}、\boldsymbol{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}~,~0\right)}$となる。

2. 

   判別式を $D$ とすると $$\dfrac{D}{4}=2^2-(-4)\cdot(-1)=0$$ $\blacktriangleleft$ または$D=4^2-4\cdot(-4)\cdot(-1)=0$
   なので、$\boldsymbol{x}$軸と1つの共有点をもつ（接する）。

   また $$\begin{align} &-4x^2+4x-1=0\\ \Leftrightarrow~&4x^2-4x+1=0\\ \Leftrightarrow~&(2x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{1}{2} \end{align}$$ だから、このグラフと $x$ 軸の共有点の座標は$\boldsymbol{\left(\dfrac{1}{2}~,~0\right)}$となる。

3. 

   判別式を $D$ とすると $$D=(-1)^2-4=-3\lt0$$ なので、$\boldsymbol{x}$軸と共有点をもたない。

2次関数 $y=4x^2+2(k-1)x-k+4$ の判別式を $D$ とすると $$\begin{align} \dfrac{D}{4}=&(k-1)^2-4(-k+4)\\ =&k^2-2k+1+4k-16\\ =&k^2+2k-15 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ または $D=4k^2+8k-60$
放物線が $x$ 軸と接するのは $D=0$ のときであるから
$\blacktriangleleft$ 判別式 $D$ と放物線の関係参照 $$\begin{align} &k^2+2k-15=0\\ \Leftrightarrow~&(k+5)(k-3)=0\\ \therefore~&\boldsymbol{k=-5~,~3} \end{align}$$ $$\begin{align} {\blacktriangleleft}&k=-5\rightarrow~y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\\ &k=3~\rightarrow~y=2\left(x+\frac12\right)^2 \end{align}$$ になる

$x$ 軸との交点の $x$ 座標が $-1$、$2$ なので、求める2次関数は $$y=a(x+1)(x-2)\tag{1}\label{2jikansukara2jihotesikiwokangaeru}$$ とおける。

また、この2次関数は $(1,~-2)$ を通るので，$\eqref{2jikansukara2jihotesikiwokangaeru}$より $$-2=a(1+1)(1-2)$$ を得る。これより、$a=1$ となるので、求める2次関数は $y=(x+1)(x-2)$、つまり $$\boldsymbol{y=x^2-x-2}$$ となる。

$\fbox{A}=\boldsymbol{y}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{0}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{-4}$
${\blacktriangleleft}~\fbox{C}$ の計算 $$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4$$