連立方程式と関数

$C$ と $L_1$ の交点の座標は、連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-x+5 \end{cases}　　　 の解に一致する。

$y=-x+5$ の左辺に $y=x^2-2x+3$ を代入してこれを解くと \begin{align} &x^2-2x+3=-x+5\\ \Leftrightarrow~&x^2-x-2=0\\ \therefore~~&x=2,~-1 \end{align}

• $x=-1$ のとき $y=6$
• $x=2$ のとき $y=3$

グラフは。右図のようになる。

$C$ と $C_1$ の交点の座標は、連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-x^2-x+6 \end{cases} の解に一致する。

$y=-x^2-x+6$ の左辺に $y=x^2-2x+3$ を代入してこれを解くと \begin{align} &x^2-2x+3=-x^2-x+6\\ \Leftrightarrow~&2x^2-x-3=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{3}{2},~-1 \end{align}

• $x=\dfrac{3}{2}$ のとき $y=\dfrac{9}{4}$
• $x=-1$ のとき $y=6$

グラフは、右図のようになる。

2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-2x-k \end{cases} の解が重解であればよい。

$y=-2x-k$ の左辺に $y=x^2-2x+3$ を代入して \begin{align} &x^2 -2x+3 =-2x-k\\ \Leftrightarrow~&x^2+3+k=0 \end{align} となる。$x^2+3+k=0$ の判別式を $D$ が $0$ となればよいので、
${\blacktriangleleft}~x$ の係数は $0$ である。 \begin{align} &\dfrac{D}{4}=0^2-1\cdot(3+k)=0\\ \therefore~~&\boldsymbol{k=-3} \end{align} このとき、直線 $L_2$ を表す式は $y=-2x+3$ となる。

また、$C$ と $L_2$ の共有点は、再び連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-2x+3 \end{cases} を解いて $(x,~y)=(0,~3)$。

つまり、グラフは右図のようになる。

2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=3x^2+2ax+a+4 \end{cases} の解が重解であればよい。

$y=3x^2+2ax+a+4$ の左辺へ $y=x^2-2x+3$ を代入して \begin{align} &x^2-2x+3=3x^2+2ax+a+4\\ \Leftrightarrow~&2x^2+(2a+2)x+a+1=0 \end{align} となる。$2x^2+(2a+2)x+a+1=0$ の判別式を $D$ が $0$ となればよいので、 \begin{align} &\dfrac{D}{4}=(a+1)^2-2\cdot(a+1)=0\\ &a^2-1=0\\ \therefore~~&\boldsymbol{a=1,~-1} \end{align}

1. 

   $a=1$ のとき
   放物線 $C_2$ を表す式は $y=3x^2+2x+5$ となる。$C$ と $C_2$ の共有点は、再び連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=3x^2+2x+5 \end{cases} を解いて $(x,~y)=(-1,~6)$。

   グラフは、右図のようになる。

2. 

   $a=-1$ のとき
   放物線 $C_2$ を表す式は $y=3x^2-2x+3$ となる。$C$ と $C_2$ の共有点は、再び連立方程式 \begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=3x^2-2x+3 \end{cases} を解いて $(x,~y)=(0,~3)$。

   グラフは、右図のようになる。