2次方程式と2次関数

$\fbox{A}=\boldsymbol{2}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{4}$、$\fbox{D}=\boldsymbol{2}$、$\fbox{E}=\boldsymbol{4}$、$\fbox{F}=\boldsymbol{3}$

1. 左辺を因数分解して $$(x+3)(x-5)=0~\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=-3~,~5}$$
2. 左辺を因数分解して $$(x-4)^2=0~\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=4}$$
3. 左辺を因数分解して $$(4x-3)(3x-2)=0~\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=\dfrac{3}{4}~,~\dfrac{2}{3}}$$
4. まず、式を整理すると $3x^2+4x-4=0$ となるので、左辺を因数分解して $$(x+2)(3x-2)=0~\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=-2~,~\dfrac{2}{3}}$$
5. 両辺を $9$ 倍すると $x^2+9x+18=0$ となるので、左辺を因数分解して $$(x+6)(x+3)=0~\Leftrightarrow~\boldsymbol{x=-6~,~-3}$$

$\fbox{A}=\boldsymbol{2}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{1}$、$\fbox{D}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{E}=\boldsymbol{1}$、$\fbox{F}=\boldsymbol{9}$、$\fbox{G}=\boldsymbol{1}$、$\fbox{H}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{I}=\boldsymbol{25}$、$\fbox{J}=\boldsymbol{9}$、$\fbox{K}=\boldsymbol{5}$、$\fbox{L}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{M}=\boldsymbol{2}$、$\fbox{N}=\boldsymbol{4}$、$\fbox{O}=\boldsymbol{3}$

1. 解の公式より $$\begin{align} &x^2+7x+2=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{-7\pm\sqrt{7^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}\\ &~=\boldsymbol{\dfrac{-7\pm\sqrt{41}}{2}} \end{align}$$
2. 解の公式より $$\begin{align} &x^2+8x-3=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}\\ &~=\dfrac{-8\pm2\sqrt{19}}{2}=\boldsymbol{-4\pm\sqrt{19}} \end{align}$$
3. 解の公式より $$\begin{align} &x^2+x-3=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}\\ &~=\boldsymbol{\dfrac{1\pm\sqrt{13}}{2}} \end{align}$$
4. 解の公式より $$\begin{align} &x=\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot5}}{2\cdot1}\\ &~=\dfrac{4\pm\sqrt{-4}}{2} \end{align}$$ $\sqrt{-4}$ が意味をもたないため、答えは解なし。
5. 解の公式より $$\begin{align} &4x^2+6x+1=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot4}\\ &~=\dfrac{-6\pm2\sqrt{5}}{8} =\boldsymbol{\dfrac{-3\pm\sqrt{5}}{4}} \end{align}$$
6. 方程式の両辺に $6$ を掛けて整理すると $$x^2+3x-2=0$$ 解の公式より $$\begin{align} &x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}\\ &~=\boldsymbol{\dfrac{-3\pm\sqrt{17}}{2}} \end{align}$$

1. $x$ の係数が偶数の場合の解の公式より $$\begin{align} &x^2-6x+4=0\\ \Leftrightarrow~&x=3\pm\sqrt{(-3)^2-1\cdot4}=\boldsymbol{3\pm\sqrt{5}} \end{align}$$ $$\begin{align} &\blacktriangleleft ax2+2b'x+c=0の解\\ &x=\dfrac{-{b'}\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a} \end{align}$$
2. 方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を掛けて整理すると $$\begin{align} &2x^2-4\sqrt{2}x-2=0\\ \Leftrightarrow&x^2-2\sqrt{2}x-1=0 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ $x^2$ の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む）
   $x$ の係数が偶数の場合の解の公式より $$\begin{align} x&=\sqrt{2}\pm\sqrt{(-\sqrt{2})^2-1\cdot(-1)}\\ &=\boldsymbol{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}} \end{align}$$
3. 方程式の両辺に $2+\sqrt{3}$ を掛けて整理すると $$\begin{align} &2(4-3)x^2\\ &\quad+2(-1-\sqrt{3})x+(2+\sqrt{3})=0\\ \Leftrightarrow~&2x^2-2(1+\sqrt{3})x+2+\sqrt{3}=0 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ まず $x^2$ の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む） $x$ の係数が偶数の場合の解の公式より $$\begin{align} x=&\bigg\{\left(1+\sqrt{3}\right)\pm\\ &\sqrt{\left\{-\left(1+\sqrt{3}\right)\right\}^2-2\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}\bigg\}\\ &\div2\\ =&\dfrac{1+\sqrt{3}\pm\sqrt{4+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}}}{2}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}} \end{align}$$

2次方程式 $x^2-(k-1)x+\dfrac{1}{4}k^2+k+1=0$ の判別式を $D$ とすると $$\begin{align} D&=\{-(k-1)\}^2-4\cdot1\cdot\left(\dfrac{1}{4}k^2+k+1\right)\\ &=k^2-2k+1-k^2-4k-4\\ &=-6k-3 \end{align}$$

1. $-6k-3\gt0$、つまり $k\lt-\dfrac{1}{2}$ のとき

   $D\gt0$ となり、方程式の解は2つ存在する。

2. $-6k-3=0$、つまり $k=-\dfrac{1}{2}$ のとき

   $D=0$ となり、方程式の解は1つ存在する。

   $\blacktriangleleft$つまり重解をもつ

3. $-6k-3\lt0$、つまり $k\gt-\dfrac{1}{2}$ のとき

   $D\lt0$ となり、方程式の解は存在しない。

• $\boldsymbol{k\lt-\dfrac{1}{2}のとき2個}$
• $\boldsymbol{k=-\dfrac{1}{2}のとき1個}$
• $\boldsymbol{k\gt-\dfrac{1}{2}のとき0個}$

2次方程式 $3x^2-2(m+1)x+\dfrac{1}{3}m^2+m=0$ の判別式を $D$ とすると $$\begin{align} \frac{D}{4}=&\{-(m+1)\}^2-3\cdot\left(\dfrac{1}{3}m^2+m\right)\\ =&m^2+2m+1-m^2-3m\\ =&-m+1 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ $x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照

1. $-m+1\gt0$、つまり $m\lt1$ のとき

   $\dfrac{D}{4}\gt0$ となり、方程式の解は2つ存在する。

2. $-m+1=0$、つまり $m=1$ のとき

   $\dfrac{D}{4}=0$ となり、方程式の解は1つ存在する。

   $\blacktriangleleft$ 重解をもつ

3. $-m+1\lt0$、つまり $m\gt1$ のとき

   $\dfrac{D}{4}\lt0$ となり、方程式の解は存在しない。

• $\boldsymbol{m\lt1のとき2個}$
• $\boldsymbol{m=1のとき1個}$
• $\boldsymbol{m\gt1のとき0個}$

$2x^2+ax+b=0$ の両辺を $2$ で割って、 $$x^2+\dfrac{a}{2}x+\dfrac{b}{2}=0$$ となる。この2次方程式の2解が $x=\dfrac{1}{2}$、$-1$ になるので $$\dfrac{1}{2}+(-1)=-\dfrac{a}{2}~,~\dfrac{1}{2}\times(-1)=\dfrac{b}{2}$$ $\blacktriangleleft~-\dfrac{a}{2}$の符号に注意
これより、$\boldsymbol{a=1,~b=-1}$ である。
$\blacktriangleleft$実際に $2x^2+x-1=0$ を解いて確認しよう

$\fbox{A}=\boldsymbol{21}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{0}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{3}$、$\fbox{D}=\boldsymbol{2}$

$\blacktriangleleft~\fbox{A}$の計算　$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-3)=21$

$\blacktriangleleft~\fbox{C}$、$\fbox{A}$、$\fbox{D}$の計算　$x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm\sqrt{21}}{2}$

1. 

   判別式を $D$ とすると $$D=(-1)^2-4\cdot(-1)=5\gt0$$ なので、$\boldsymbol{x}$軸と2つの共有点をもつ。

   また $$\begin{align} &x^2-x-1=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ 2次方程式の解の公式
   だから、このグラフと $x$ 軸の共有点の座標は$\boldsymbol{\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}~,~0\right)}、\boldsymbol{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}~,~0\right)}$となる。

2. 

   判別式を $D$ とすると $$\dfrac{D}{4}=2^2-(-4)\cdot(-1)=0$$ $\blacktriangleleft$ または$D=4^2-4\cdot(-4)\cdot(-1)=0$
   なので、$\boldsymbol{x}$軸と1つの共有点をもつ（接する）。

   また $$\begin{align} &-4x^2+4x-1=0\\ \Leftrightarrow~&4x^2-4x+1=0\\ \Leftrightarrow~&(2x-1)^2=0\\ \Leftrightarrow~&x=\dfrac{1}{2} \end{align}$$ だから、このグラフと $x$ 軸の共有点の座標は$\boldsymbol{\left(\dfrac{1}{2}~,~0\right)}$となる。

3. 

   判別式を $D$ とすると $$D=(-1)^2-4=-3\lt0$$ なので、$\boldsymbol{x}$軸と共有点をもたない。

2次関数 $y=4x^2+2(k-1)x-k+4$ の判別式を $D$ とすると $$\begin{align} \dfrac{D}{4}=&(k-1)^2-4(-k+4)\\ =&k^2-2k+1+4k-16\\ =&k^2+2k-15 \end{align}$$ $\blacktriangleleft$ または $D=4k^2+8k-60$
放物線が $x$ 軸と接するのは $D=0$ のときであるから
$\blacktriangleleft$ 判別式 $D$ と放物線の関係参照 $$\begin{align} &k^2+2k-15=0\\ \Leftrightarrow~&(k+5)(k-3)=0\\ \therefore~&\boldsymbol{k=-5~,~3} \end{align}$$ $$\begin{align} {\blacktriangleleft}&k=-5\rightarrow~y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\\ &k=3~\rightarrow~y=2\left(x+\frac12\right)^2 \end{align}$$ になる

$x$ 軸との交点の $x$ 座標が $-1$、$2$ なので、求める2次関数は $$y=a(x+1)(x-2)\tag{1}\label{2jikansukara2jihotesikiwokangaeru}$$ とおける。

また、この2次関数は $(1,~-2)$ を通るので，$\eqref{2jikansukara2jihotesikiwokangaeru}$より $$-2=a(1+1)(1-2)$$ を得る。これより、$a=1$ となるので、求める2次関数は $y=(x+1)(x-2)$、つまり $$\boldsymbol{y=x^2-x-2}$$ となる。

$\fbox{A}=\boldsymbol{y}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{0}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{-4}$
${\blacktriangleleft}~\fbox{C}$ の計算 $$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=16-20=-4$$

1. $C$ と $L_1$ の交点の座標は、連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-x+5 \end{cases}$$ 　　　 の解に一致する。

   $y=-x+5$ の左辺に $y=x^2-2x+3$ を代入してこれを解くと $$\begin{align} &x^2-2x+3=-x+5\\ \Leftrightarrow~&x^2-x-2=0\\ \therefore~~&x=2,~-1 \end{align}$$

   
   となる。$y=-x+5$ に代入して $y$ を求めれば
   • $x=-1$ のとき $y=6$
   • $x=2$ のとき $y=3$
   であるので、交点の座標は $\boldsymbol{(-1,~6)}$、$\boldsymbol{(2,~3)}$ である。

   グラフは。右図のようになる。

2. $C$ と $C_1$ の交点の座標は、連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-x^2-x+6 \end{cases}$$ の解に一致する。

   $y=-x^2-x+6$ の左辺に $y=x^2-2x+3$ を代入してこれを解くと $$\begin{align} &x^2-2x+3=-x^2-x+6\\ \Leftrightarrow~&2x^2-x-3=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{3}{2},~-1 \end{align}$$

   
   となる。$y=-x^2-x+6$ によって $y$ を求めれば
   • $x=\dfrac{3}{2}$ のとき $y=\dfrac{9}{4}$
   • $x=-1$ のとき $y=6$
   であるので、交点の座標は $\boldsymbol{(-1,~6)}$、$\boldsymbol{\left(\dfrac{3}{2},~\dfrac{9}{4}\right)}$ である。

   グラフは、右図のようになる。

3. 2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-2x-k \end{cases}$$ の解が重解であればよい。

   $y=-2x-k$ の左辺に $y=x^2-2x+3$ を代入して $$\begin{align} &x^2 -2x+3 =-2x-k\\ \Leftrightarrow~&x^2+3+k=0 \end{align}$$ となる。$x^2+3+k=0$ の判別式を $D$ が $0$ となればよいので、
   ${\blacktriangleleft}~x$ の係数は $0$ である。 $$\begin{align} &\dfrac{D}{4}=0^2-1\cdot(3+k)=0\\ \therefore~~&\boldsymbol{k=-3} \end{align}$$ このとき、直線 $L_2$ を表す式は $y=-2x+3$ となる。

   

   また、$C$ と $L_2$ の共有点は、再び連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=-2x+3 \end{cases}$$ を解いて $(x,~y)=(0,~3)$。

   つまり、グラフは右図のようになる。

4. 2つのグラフの共有点が1つであるには、連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=3x^2+2ax+a+4 \end{cases}$$ の解が重解であればよい。

   $y=3x^2+2ax+a+4$ の左辺へ $y=x^2-2x+3$ を代入して $$\begin{align} &x^2-2x+3=3x^2+2ax+a+4\\ \Leftrightarrow~&2x^2+(2a+2)x+a+1=0 \end{align}$$ となる。$2x^2+(2a+2)x+a+1=0$ の判別式を $D$ が $0$ となればよいので、 $$\begin{align} &\dfrac{D}{4}=(a+1)^2-2\cdot(a+1)=0\\ &a^2-1=0\\ \therefore~~&\boldsymbol{a=1,~-1} \end{align}$$

   1. 

      $a=1$ のとき
      放物線 $C_2$ を表す式は $y=3x^2+2x+5$ となる。$C$ と $C_2$ の共有点は、再び連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=3x^2+2x+5 \end{cases}$$ を解いて $(x,~y)=(-1,~6)$。

      グラフは、右図のようになる。

   2. 

      $a=-1$ のとき
      放物線 $C_2$ を表す式は $y=3x^2-2x+3$ となる。$C$ と $C_2$ の共有点は、再び連立方程式 $$\begin{cases} y=x^2-2x+3\\ y=3x^2-2x+3 \end{cases}$$ を解いて $(x,~y)=(0,~3)$。

      グラフは、右図のようになる。