2次不等式と2次関数

$\fbox{A}=\boldsymbol{0}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{2}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{2}$
${\blacktriangleleft}~\fbox{B}$、$\fbox{C}$の計算 $-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2 -1\cdot2}=2\pm\sqrt{2}$

$y=x^2-2x-3$ とおくと、判別式 $D$ は \[D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16\gt0\] となるので、この放物線は $x$ 軸と2つの共有点をもつ。その共有点の $x$ 座標は \begin{align} &x^2-2x-3=0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(x-3)=0\\ \Leftrightarrow~&x=-1,~3 \end{align} より、$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $-1$、$3$ とわかる。

これより、$y=x^2-2x-3$ のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\gt0$ となるのは $x\lt-1$ または $3\lt{x}$ のときであるとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\gt0$ の解は \[\boldsymbol{x\lt-1~,~3\lt{x}}\] となる。

2. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\geqq0$ となるのは $x\leqq-1$ または $3\leqq{x}$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\geqq0$ の解は \[\boldsymbol{x\leqq-1~,~3\leqq{x}}\] となる。

3. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\lt0$ となるのは $-1\lt{x}\lt3$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\lt0$ の解は \[\boldsymbol{-1\lt{x}\lt3}\] となる。

4. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\leqq0$ となるのは $-1\leqq{x}\leqq3$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\leqq0$ の解は \[\boldsymbol{-1\leqq{x}\leqq3}\] となる。

$y=4x^2-4x+1$ とおくと、判別式 $D$ は \[D=(-4)^2-4\cdot4\cdot1=0\] となるので、この放物線は $x$ 軸と接する。

さらに、2次方程式 $4x^2-4x+1=0$ を解くと \begin{align} &4x^2-4x+1=0\\ \Leftrightarrow~&(2x-1)^2=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{1}{2} \end{align} となるので、$x$ 軸との共有点（接点）の $x$ 座標は $\dfrac{1}{2}$ とわかる。

これより、$y=4x^2-4x+1$ のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、$4x^2-4x+1\gt0$ となるのは $x\lt\dfrac{1}{2}$ または $\dfrac{1}{2}\lt{x}$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\gt0$ の解は \[\boldsymbol{x\lt\dfrac{1}{2}~,~\dfrac{1}{2}\lt{x}}\] となる。

   ${\blacktriangleleft}$ 「$x$ は $\dfrac{1}{2}$ 以外のすべての実数」という答え方でもよい
2. 

   右図より、すべての実数 $x$ で $4x^2-4x+1\geqq0$ となるのがわかる。

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\geqq0$ の解はすべての実数となる。

3. 

   右図より、$4x^2-4x+1\lt0$ となる $x$ は存在しないのがわかる。

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\lt0$ の解は存在しない。

4. 右図より、$4x^2-4x+1\leqq0$ となるのは $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$ のときのみとわかる。

   

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\leqq0$ の解は \[\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}\] となる。

$y=x^2-4x+5$ とおくと、判別式 $D$ は \[D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4\lt0\] となり、この放物線は $x$ 軸と交点をもたないので、$y=x^2-4x+5$ のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、すべての実数 $x$ で $x^2-4x+5\gt0$ となるのがわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\gt0$ の解はすべての実数となる。

2. 

   右図より、すべての実数 $x$ で $x^2-4x+5\geqq0$ となるのがわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\geqq0$ の解はすべての実数となる。

3. 

   右図より、$x^2-4x+5\lt0$ となる $x$ は存在しないのがわかる

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\lt0$ の解は存在しない。

4. 

   右図より、$x^2-4x+5\leqq0$ となる $x$ は存在しないのがわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\leqq0$ の解は存在しない。

1. 
   $y=(x-3)(x+2)$ のグラフを描けば右図のようになるので、$\boldsymbol{-2\leqq{x}\leqq3}$ が解となる。
2. 
   $x^2-6x+8$ は整数の範囲で因数分解でき
   ${\blacktriangleleft}~y=x^2-6x+8$ の判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=(-3)^2-1\cdot8\gt0$ \begin{align} &x^2-6x+8\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-2)(x-4)\lt0 \end{align} $y=(x-2)(x-4)$ のグラフを描けば右図のようになるので、$\boldsymbol{2\lt{x}\lt4}$ が解となる。
3. 
   式全体に $-1$ を掛けて
   ${\blacktriangleleft}~x^2$ の係数は正にした方がよい \begin{align} &-2x^2-x-6\geqq0\\ \Leftrightarrow~&2x^2+x+6\leqq0 \end{align} $y=2x^2+x+6$ は判別式 $D=1^2-4\cdot2\cdot6\lt0$ であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式を満たす実数は存在しないので、解はない。
4. 
   移項して整理すると \begin{align} &x^2-x-6\geqq2x-4\\ \Leftrightarrow~&x^2-3x-2\geqq0 \end{align} $x^2-3x-2$ は簡単には因数分解できないので、
   ${\blacktriangleleft}~y=x^2-3x-2$ の判別式を $D$ とすると $D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-2)\gt0$
   2次方程式 $x^2-3x-2=0$ の解 \begin{align} x=&\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}\\ =&\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2} \end{align} ${\blacktriangleleft}$ 2次方程式の解の公式参照
   を利用して \begin{align} &x^2-3x-2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&\left(x-\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)\\ &\qquad\left(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x\leqq\frac{3-\sqrt{17}}{2},~~\frac{3+\sqrt{17}}{2}\leqq{x}} \end{align} が解となる。
5. 
   移項して整理すると \begin{align} &-x^2-x-9\lt{x}-3\\ \Leftrightarrow~&-x^2-2x-6\lt0\\ \Leftrightarrow~&x^2+2x+6\gt0 \end{align} ${\blacktriangleleft}~x^2$ の係数は正にした方がよい
   $y=x^2+2x+6$ の判別式 $D$ について $\dfrac{D}{4}=1^2-1\cdot6\lt0$ であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式は常に正しいので、解はすべての実数。
6. 
   両辺を6倍して整理すると \begin{align} &\dfrac{1}{2}x^2-x-\dfrac{5}{3}\geqq\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x+1\\ \Leftrightarrow~&3x^2-6x-10\geqq4x^2+2x+6\\ \Leftrightarrow~&x^2+8x+16\leqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+4)^2\leqq0 \end{align} $y=(x+4)^2$ のグラフを描くと右図のようになる。よって、この不等式の解は $\boldsymbol{x=-4}$。

1. • 

     まず、$(1)$ を解くと \begin{align} &x^2-5x-14\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x-7)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-2~,~7\leqq{x} \end{align} 最後の式を $(1)'$ とする。

   • 

     次に、$(2)$ を解くと \begin{align} &2x^2-11x-40\lt0\\ \Leftrightarrow~&(2x+5)(x-8)\lt0\\ \Leftrightarrow~&-\dfrac{5}{2}\lt{x}\lt8 \end{align} 最後の式を $(2)'$ とする。

   以上 $(1)'$、$(2)'$ を共通して満たす $x$ は \[\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}\lt{x}\leqq-2~,~7\leqq{x}\lt8}\]

   
2. • 

     まず、$(3)$ を解くと \begin{align} &25-9x^2\gt0\\ \Leftrightarrow~&9x^2-25\lt0\\ \Leftrightarrow~&(3x+5)(3x-5)\lt0\\ \Leftrightarrow~&-\dfrac{5}{3}\lt{x}\lt\dfrac{5}{3} \end{align} ${\blacktriangleleft}~x^2$ の係数が正になるように両辺に $-1$ を掛けた
     最後の式を $(3)'$ とする。

   • 

     次に、$(4)$ を解くのだが、これは簡単には因数分解できないので、2次方程式 $3x^2+4x-6=0$ の解 \begin{align} x=&\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\cdot(-6)}}{3}\\ =&\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3} \end{align} ${\blacktriangleleft}~x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照
     を利用して \begin{align} &3x^2+4x-6\lt0\\ \Leftrightarrow~&\left\{x-\left(\dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\right)\right\}\\ &\qquad\left\{x-\left(\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}\right)\right\}\lt0\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\lt{x}\lt\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3} \end{align} 最後の式を $(4)'$ とする。

   以上 $(3)'$、$(4)'$ を共通して満たす $x$ は \[\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}\lt{x}\lt\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}}\]

   
   ${\blacktriangleleft}~4\lt\sqrt{22}\lt5$ より
   $-2+\sqrt{22}=2.\cdots$ なので
   $\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}=0.\cdots$
   $-2-\sqrt{22}=-6.\cdots$ なので
   $\dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}=-2.\cdots$

まず、$x^2+y^2=1$ を変形して
${\blacktriangleleft}~L=x+y^2-1$ から $y$ を消去することが目的 \[y^2=1-x^2\tag{1}\label{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}\] $\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ を $L=x+y^2-1$ に代入し、平方完成すると
${\blacktriangleleft}$ 最大・最小を求めたいので平方完成する \begin{align} L&=x+(1-x^2)-1\\ &=-x^2+x\\ &=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4} \end{align} 一方、$\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ において、$y^2\geqq0$ なので
${\blacktriangleleft}$ 条件に2乗などがあるときは範囲に注意する \begin{align} &1-x^2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x+1)\leqq0\\ \therefore~&-1\leqq{x}\leqq1 \end{align} である。つまり \begin{align} L=f(x)&=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\\ &(-1\leqq{x}\leqq1)\tag{2}\label{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku2} \end{align}

図から、最大値は \[f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\] であり、$x=\dfrac{1}{2}$ を $\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ に代入して $y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

また、最小値は \[f(-1)=-2\] であり、$x=-1$ を $\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ に代入して $y=0$ となる。まとめると

• $\boldsymbol{(x,~y)=\left(\dfrac{1}{2},~\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ のとき最大値$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$
• $\boldsymbol{(x,~y)=(-1,~0)}$ のとき最小値 $\boldsymbol{-2}$

1. 1. 
      

      \begin{align} &x^2-4\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x-2)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{-2}~,~2{\leqq}x \end{align} のとき、$|x^2-4|=x^2-4$ なので \begin{align} y=&2x-(x^2-4)\\ =&-x^2+2x+4\\ =&-(x-1)^2+5 \end{align}

   2. $x^2-4\lt0$、つまり $-2\lt{x}\lt2$ のとき、$|x^2-4|=-(x^2-4)$ であるので \begin{align} y=&2x+(x^2-4)\\ =&x^2+2x-4\\ =&(x+1)^2-5 \end{align}

   
   以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

2. 1. $x^2-4x-6\geqq0$、つまり $x\leqq{2}-\sqrt{10}~,~2+\sqrt{10}\leqq{x}$ のとき、$|x^2-4x-6|=x^2-4x-6$ なので \begin{align} y=&x^2-4x-6\\ =&(x-2)^2-10 \end{align}

   2. $x^2-4x-6\lt0$、つまり $2-\sqrt{10}\lt{x}\lt2+\sqrt{10}$ のとき、$|x^2-4x-6|=-(x^2-4x-6)$ なので \begin{align} y=&-(x^2-4x-6)\\ =&-x^2+4x+6\\ =&-(x-2)^2+10 \end{align}

   
   以上i,iiより、グラフは右図のようになる。

1. 1. $x^2-2x-8\geqq0$、つまり \begin{align} &x^2-2x-8\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x-4)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{-2}~,~4\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki1} \end{align}
      
      のとき、与えられた方程式は \begin{align} &x^2-2x-8=6x+1\\ \Leftrightarrow~&x^2-8x-9=0\\ \therefore~~&x=-1~,~9 \end{align} $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki1}$ の範囲で考えているので、$x=9$
   2. $x^2-2x-8\lt0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外 \[-2\lt{x}\lt4\tag{2}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki2}\] のとき、与えられた方程式は
      $\blacktriangleleft$ $x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照 \begin{align} &-(x^2-2x-8)=6x+1\\ \Leftrightarrow~&-x^2+2x+8=6x+1\\ \Leftrightarrow~&x^2+4x-7=0\\ \therefore~~&x=-2\pm\sqrt{11} \end{align} $\blacktriangleleft$ $3\lt\sqrt{11}\lt4$ より $-2+\sqrt{11}=1.\cdots$
      $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki2}$ の範囲で考えているので、$x=-2+\sqrt{11}$
   以上 i,ii より、求める解は $\boldsymbol{x=-2+\sqrt{11}~,~9}$
2. 1. $x^2-4x+3\geqq0$、つまり \begin{align} &x^2-4x+3\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x-3)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{1}~,~3\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki3} \end{align}
      
      のとき、与えられた方程式は
      $\blacktriangleleft$ 2次方程式の解の公式参照 \begin{align} &x^2-4x+3=2-x\\ \Leftrightarrow~&x^2-3x+1=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2} \end{align} $\blacktriangleleft$ $\sqrt{5}=2.2360679\cdots$
      $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki3}$ の範囲で考えているので、$x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$
   2. $x^2-4x+3\lt0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外 \[1\lt{x}\lt3\tag{4}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki4}\] のとき、与えられた方程式は
      $\blacktriangleleft$ 2次方程式の解の公式参照 \begin{align} &-(x^2-4x+3)=2-x\\ \Leftrightarrow~&x^2-5x+5=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{5\pm\sqrt{5}}{2} \end{align} $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki4}$ の範囲で考えているので、$x=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$
   以上 i,ii より、求める解は $\boldsymbol{x=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}~,~\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}$

1. 1. $x^2-9\geqq0$、つまり
      
      \begin{align} &x^2-9\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+3)(x-3)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-3~,~3\leqq{x}\tag{1}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki5} \end{align} のとき、与えられた不等式は
      
      \begin{align} &3x^2+x^2-9\lt16x\\ \Leftrightarrow~&4x^2-16x-9\lt0\\ \Leftrightarrow~&(2x+1)(2x-9)\lt0\\ \therefore~~&-\dfrac{1}{2}\lt{x}\lt\dfrac{9}{2} \end{align}
      
      これと $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki5}$ を合わせて、$3\leqq{x}\lt\dfrac{9}{2}$
   2. \[x^2-9\lt0\tag{2}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki6}\] $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外
      のとき、与えられた不等式は
      $\blacktriangleleft$ 方程式 $2x^2-16x+9=0$ の解を利用した \begin{align} &3x^2-(x^2-9)\lt16x\\ \Leftrightarrow~&2x^2-16x+9\lt0\\ \Leftrightarrow~&\left\{x-\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\right\}\\ &\qquad\left\{x-\dfrac{8+\sqrt{46}}{2}\right\}\lt0\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\lt{x}\lt\dfrac{8+\sqrt{46}}{2} \end{align} $\blacktriangleleft$ $6\lt\sqrt{46}\lt7$ より $\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}=0.\cdots$、$\dfrac{8+\sqrt{46}}{2}=7.\cdots$
      これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki6}$ を合わせて、$\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\lt{x}\lt3$
   以上 i,ii より求める解は $\boldsymbol{\dfrac{8-\sqrt{46}}{2}\lt{x}\lt\dfrac{9}{2}}$
2. 1. $x^2-8x-3\geqq0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ 方程式 $x^2-8x-3=0$ の解を利用した \begin{align} &x^2-8x-3\geqq0\\ \Leftrightarrow~&\{x-\left(4-\sqrt{19}\right)\}\\ &\qquad\{x-\left(4+\sqrt{19}\right)\}\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq{4-\sqrt{19}}~,\\ &\qquad4+\sqrt{19}\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki7} \end{align} のとき、与えられた不等式は
      
      \begin{align} &x^2-8x-3-2x-8\gt0\\ \Leftrightarrow~&x^2-10x-11\gt0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(x-11)\gt0\\ \therefore~~&x\lt-1~,~11\lt{x} \end{align} $\blacktriangleleft$ $\sqrt{19}=4.\cdots$
      これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki7}$ を合わせて、$x\lt-1~,~11\lt{x}$
   2. $x^2-8x-3\lt0$、つまり
      $\blacktriangleleft$ i の $x$ の範囲以外 \[4-\sqrt{19}\lt{x}\lt4+\sqrt{19}\tag{4}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki8}\] のとき、与えられた不等式は
      
      \begin{align} &-(x^2-8x-3)-2x-8\gt0\\ \Leftrightarrow~&x^2-6x+5\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x-5)\lt0\\ \therefore~~&1\lt{x}\lt5 \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki8}$ を合わせて、$1\lt{x}\lt5$
   以上 i,ii より求める解は $\boldsymbol{x\lt-1~,~1\lt{x}\lt5~,~11\lt{x}}$

1. まず、場合分けについて考える。
   • $2x-4\geqq0$ を解くと、$x\geqq2$
   • $x-5\geqq0$ を解くと、$x\geqq5$
   $\blacktriangleleft$ $0$ になる場合は省略している。
   よって、次の表のようになる。

   $x$		～$2$	$2$～$5$	$5$～
   $2x-4$		$-$	$+$	$+$
   $x-5$		$-$	$-$	$+$

   1. $2\leqq{x}$ のとき \begin{align} y=&-(2x-4)-(x-5)\\ =&-3x+9 \end{align}
   2. $2\lt{x}\lt5$ のとき \begin{align} y=&(2x-4)-(x-5)\\ =&x+1 \end{align}
   3. $5\leqq{x}$ のとき \begin{align} y=&(2x-4)+(x-5)\\ =&3x-9 \end{align}
   
   以上 i,ii,iii より、グラフは右図のようになる。
2. まず、場合分けについて考える。
   • $x-3\geqq0$ を解くと、$x\geqq3$
   • $x-5\geqq0$ を解くと、$x\geqq5$
   $\blacktriangleleft$ $0$ になる場合は省略している。
   よって、次の表のようになる。

   $x$		～$3$	$3$～$5$	$5$～
   $x-3$		$-$	$+$	$+$
   $x-5$		$-$	$-$	$+$

   1. \[x\leqq3\tag{1}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki9}\]のとき \begin{align} &-(x-3)-(x-5)=3\\ \Leftrightarrow~&-x+3-x+5=3\\ \Leftrightarrow~&-2x=-5\\ \therefore~~&x=\dfrac{5}{2} \end{align} これは $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki9}$ に適する。
   2. \[3\lt{x}\lt5\tag{2}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki10}\]のとき \begin{align} &(x-3)-(x-5)=3\\ \Leftrightarrow~&x-3-x+5=3\\ \Leftrightarrow~&2=3 \end{align} $x$がいくつでも、この等式を満たすことはありえない。よって、この場合には解は無い。
   3. \[5\leqq{x}\tag{3}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki11}\]のとき \begin{align} &(x-3)+(x-5)=3\\ \Leftrightarrow~&x-3+x-5=3\\ \Leftrightarrow~&2x=11\\ \therefore~~&x=\dfrac{11}{2} \end{align} これは $\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki11}$ に適する。
   以上 i,ii,iii より、求める解は \[\boldsymbol{x=\dfrac{5}{2}~,~\dfrac{11}{2}}\] である。
3. まず、場合分けについて考える。
   
   • $x^2-4x+3\geqq0$ を解くと、$(x-1)(x-3)\geqq0$、$x\leqq1,~3\leqq{x}$
   • $x-2\geqq0$ を解くと、$x\geqq2$
   $\blacktriangleleft$ $0$ になる場合は省略している。
   よって、次の表のようになる。

   $x$		～$1$	$1$～$2$	$2$～$3$	$3$～
   $x^2-4x+3$		$+$	$-$	$-$	$+$
   $x-2$		$-$	$-$	$+$	$+$

   1. \[x\leqq1\tag{4}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki12}\]のとき
      
      \begin{align} &(x^2-4x+3)-(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&x^2-6x+5\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x-5)\lt0\\ \therefore~~&1\lt{x}\lt5 \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki12}$ を合わせて、この場合は解が無い。
   2. \[1\lt{x}\leqq2\tag{5}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki13}\]のとき
      
      \begin{align} &-(x^2-4x+3)-(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&-x^2+2x-1\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)^2\gt0\\ \therefore~~&x\lt1,~1\lt{x} \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki13}$ を合わせて、$1\lt{x}\leqq2$
   3. \[2\lt{x}\leqq3\tag{6}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki14}\]のとき \begin{align} &-(x^2-4x+3)+(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&-x^2+4x-5\lt0\\ \Leftrightarrow~&x^2-4x+5\gt0 \end{align}
      
      $x^2-4x+5$ の判別式を $D$ すると、$\dfrac{D}{4}=2^2-5\lt0$ であり、グラフを考えると、解はすべての実数。
      これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki14}$ を合わせて、$2\lt{x}\leqq3$
   4. \[3\lt{x}\tag{7}\label{zettaitiwohukumukansuhotesiki15}\]のとき
      $\blacktriangleleft$ 方程式 $x^2-4x+1=0$ の解を利用した \begin{align} &(x^2-4x+3)+(x-2)\lt{x}\\ \Leftrightarrow~&x^2-4x+1\lt0\\ \Leftrightarrow~&2-\sqrt{3}\lt{x}\lt2+\sqrt{3} \end{align} これと、$\eqref{zettaitiwohukumukansuhotesiki15}$ を合わせて、$3\lt{x}\lt2+\sqrt{3}$
   以上 i,ii,iii,iv より、求める解は \[\boldsymbol{1\lt{x}\lt2+\sqrt{3}}\]