三角比の相互関係

三角比どうしの関係の例題でみたように、同じ角度に対する三角比の値は、互いにばらばらなものではなく、ある関係によって結ばれている。

以下では、この三角比の間に成り立つ関係を、一般的に導いてみよう。

図の直角三角形において \[a=c\sin{A}~,~b=c\cos{A}\] であるから、$\tan{A}$ は \[\tan{A}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c\sin{A}}{c\cos{A}}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}\] と表すことができる。つまり \[\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}\tag{1}\label{sinAcosAtanAnoaidanihadonoyounakankeigaaruka1}\] が成り立つ。また、三平方の定理より $a^2+b^2=c^2$ であるから、これに $a=c\sin{A}$ と $b=c\cos{A}$ を代入して \begin{align} &\left(c\sin{A}\right)^2+\left(c\cos{A}\right)^2=c^2\\ \Leftrightarrow\ &c^2\left(\sin{A}\right)^2+c^2\left(\cos{A}\right)^2=c^2\\ \Leftrightarrow\ &\left(\sin{A}\right)^2+\left(\cos{A}\right)^2=1 \end{align} が成り立つ。普通 $(\sin{A})^2$、$(\cos{A})^2$、$(\tan{A})^2$ などは、それぞれ $\sin^2A$、$\cos^2A$、$\tan^2A$ と書く。

つまり \[\sin^2{A}+\cos^2{A}=1\tag{2}\label{sinAcosAtanAnoaidanihadonoyounakankeigaaruka2}\] が成り立つ。

吹き出し$\sin{A}$、$\cos{A}$、$\tan{A}$ の間にはどのような関係があるか

3 と4 は記憶しなくても、例題でみたように1 と2 からすぐに導ける。2 両辺を $\sin^2A$ や $\cos^2A$ で割ればよい、ということを記憶しておこう。

三角比どうしの関係の例題を、今度はこの関係を使って解いてみよう。

$B$ から見た直角三角形

図の直角三角形において \[B=90^\circ-A\] であるから、以下のように表すことができる。 \begin{align} &\sin(90^\circ-A)=\sin{B}=\dfrac{b}{c}=\cos{A}\\ &\cos(90^\circ-A)=\cos{B}=\dfrac{a}{c}=\sin{A}\\ &\tan(90^\circ-A)=\tan{B}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\tan{A}} \end{align}

吹き出し$90^\circ-A$ の三角比

「$90^\circ-A$ の三角比は $A$ だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式は暗記するようなものではない。必要なときに素早く導出できるようにしておこう。

これより、$45^\circ\lt{A}\lt90^\circ$ の三角比は、$0^\circ\lt{A}\lt45^\circ$ の三角比になおすことができる。

次の例題で確かめてみよう。