鋭角の三角比

三角形の例

$\triangle\text{A}\text{B}\text{C}$ において、以下のように略することが多い。 \[\angle\text{A},~\angle\text{B},~\angle\text{C}の大きさ\longrightarrowそれぞれA,~B,~C\] \[辺\text{BC},~\text{CA},~\text{AB}の長さ\longrightarrowそれぞれa,~b,~c\] 今後、特に断りのない限りこの記法にしたがうこととする。

直角三角形の例

図のような直角三角形 $\text{ABC}$ を $\angle\text{A}$ からみるとき

• 辺 $\text{AB}$ のことを斜辺 (hypotenuse)
• 辺 $\text{BC}$ のことを対辺 (opposite side)
• 辺 $\text{CA}$ のことを底辺 (base)

このうち底辺、対辺は、$\angle\text{A}$ から直角をみることによって相対的に決まる。図で描かれたときに、下の部分にあるから底辺というのではない。

角度を変えた直角三角形

たとえば、次の図のように斜めになっている直角三角形でも、点 $\text{A}$ からみたときの斜辺、対辺、底辺は、それぞれ辺$\text{AB}$、$\text{BC}$、$\text{CA}$ となる。

この章の図にある“目”のマークは、本文中で「～からみたときの」とある場合の説明の補助として使われている。自分も同じ所から見つめているつもりになって、図形を考えてみよう。

川の図

次の図において、川を渡ることなく、C点から対岸のB点までの距離BCを求めるにはどうしたらよいだろうか。

まず、C点から見て、直線CBと直角の方向にA点を適当に定め、C点からA点までの距離を測る。

たとえば、これは40mであったとする。次に、A点から見て、直線ABと直線ACのつくる角の大きさを測る。たとえば、これは $35^\circ$ であったとする。

$\triangle\text{ABC}$ の縮図

$\triangle\text{ABC}$ は $\angle\text{C}$ が直角の直角三角形であるから、この縮図 $\triangle\text{A'B'C'}$ を、たとえば、$\text{A'C'}=3\text{cm}$ として描くと図のようになる。

そこで、辺$\text{B'C'}$ の長さを測ると約 $\fbox{ア}\text{cm}$ になっている（実際に定規じょうぎで測ってみよう）。

ここで、$\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{A'B'C'}$ は相似であるから \[\dfrac{\text{CB}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{C'B'}}{\text{A'C'}}\fallingdotseq\dfrac{\fbox{ア}}{3}=\fbox{イ}\] が成り立つ。この値は、いわばACに対するCBの倍率であることに注意しよう。

実際には、$\text{AC}=40\text{m}$ であったから \[\text{BC}\fallingdotseq\text{AC}\times\fbox{イ}=40\text{m}\times\fbox{イ}=\fbox{ウ}\text{m}\] と計算できる。

このように、実際に川を渡らずとも距離BCが求められたのは、適当な縮図 $\triangle\text{A'B'C'}$ を使い、ACに対するCBの倍率（比）を計算したためである。この値は縮図の大きさによらない、$35^\circ$ という角度に関する固有の値である。

$\fbox{ア},~\fbox{イ},~\fbox{ウ}$ の答え \[\fbox{ア}=2.1,~\fbox{イ}=0.70,~\fbox{ウ}=28\]

一般に、$\angle\text{C}$ が直角である直角三角形$\text{ABC}$ において、$\angle\text{A}$ から見たときの $\dfrac{（対辺）}{（底辺）}=\dfrac{\text{CB}}{\text{AC}}$ の値は、$\triangle\text{ABC}$ の大きさに関係無く、$\angle\text{A}$ の大きさだけで決まる。

直角三角形の図

たとえば、図の $\triangle\text{AB'C'}$ は $\triangle\text{ABC}$ の0.75倍の大きさで描かれているので、 \[\dfrac{\text{C'B'}}{\text{AC'}}=\dfrac{0.75\times\text{CB}}{0.75\times\text{AC}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{AC}}\] となり、直角三角形の大きさとは関係ないことがわかる。

ここで、この $\dfrac{（対辺）}{（底辺）}$ の値を $A$ の正接せいせつまたは、$\text{A}$ のタンジェント (tangent) といい、$\boldsymbol{\tan{A}}$ と書く。

吹き出し正接の定義

正接の覚え方

$\tan{A}$ の値 $\dfrac{a}{b}$ は、図のように $\tan$ の頭文字 $t$ の筆記体の書き順に合わせ、「$b$ 分の $a$」と記憶するとよい。

$\tan{A}$ は、$\angle\text{A}$ からみたときの底辺に対する対辺の倍率を表していて、さきほどの川の例では、$(底辺):(対辺)=b:a=1:\tan{35^\circ}\fallingdotseq1:0.7$ であった。

正接の場合と同じように、$\angle\text{C}$ が直角である直角三角形 $\text{ABC}$ において、$\angle\text{A}$ から見たときの $\dfrac{（対辺）}{（斜辺）}=\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}$ の値や、$\dfrac{（底辺）}{（斜辺）}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BA}}$ の値は、$\triangle\text{ABC}$ の大きさに関係無く、$\angle\text{A}$ の大きさだけで決まる。

正弦と余弦の例

たとえば、図の $\triangle\text{AB'C'}$ は $\triangle\text{ABC}$ の0.75倍の大きさで描かれているが \begin{align} &\dfrac{\text{B'C'}}{\text{AB'}}=\dfrac{0.75\times\text{BC}}{0.75\times\text{AB}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{AB}}\\ &\dfrac{\text{AC'}}{\text{B'A}}=\dfrac{0.75\times\text{AC}}{0.75\times\text{BA}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BA}} \end{align} となり直角三角形の大きさは関係ないのがわかる。

ここで、$\dfrac{（対辺）}{（斜辺）}$ の値を $A$ の正弦せいげんまたは、$A$ のサイン (sine) といい、$\boldsymbol{\sin{A}}$ と書く。

また、$\dfrac{（底辺）}{（斜辺）}$ の値を $A$ の余弦よげんまたは、$A$ のコサイン (cosine) といい、$\boldsymbol{\cos{A}}$ と書く。

吹き出し正弦と余弦の定義

正弦の覚え方

余弦の覚え方

$\sin{A}$ の値 $\dfrac{a}{c}$ や、$\cos{A}$ の値 $\dfrac{b}{c}$ も、$\tan$ のときと同じように、$\sin$ の頭文字 $s$ や、$\cos$ の頭文字 $c$ の筆記体の書き順に合わせて、図のように記憶するとよい。

$\sin{A}$ とは、$\angle\text{A}$ からみたときの斜辺に対する対辺の倍率を表し、$\cos{A}$ とは、$\angle\text{A}$ からみたときの斜辺に対する底辺の倍率を表す。

川を渡らずに川幅を知る方法の例で考えれば、斜辺は3.7cmと測れるから \[\sin35^\circ\fallingdotseq\dfrac{2.1}{3.7}\fallingdotseq0.57,~\cos35^\circ\fallingdotseq\dfrac{3}{3.7}\fallingdotseq0.81\]

正接と正弦および余弦をまとめて、三角比 (trigonometric ratio) という。いろいろな角度に関する三角比の値を三角比の表にまとめてある。

この表よりたとえば、$\cos40^\circ$ の値は約 $0.766$、また $\sin{A}=0.97$ のときの $A$ の大きさは約 $76^\circ$ とわかる。

吹き出し三角比の値

上の例題で導いた $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ は有名角といい、これらの三角比の値は、瞬時に引き出せるようにしておこう。

三角比どうしの関係の例題でみたように、同じ角度に対する三角比の値は、互いにばらばらなものではなく、ある関係によって結ばれている。

以下では、この三角比の間に成り立つ関係を、一般的に導いてみよう。

図の直角三角形において \[a=c\sin{A}~,~b=c\cos{A}\] であるから、$\tan{A}$ は \[\tan{A}=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c\sin{A}}{c\cos{A}}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}\] と表すことができる。つまり \[\tan{A}=\dfrac{\sin{A}}{\cos{A}}\tag{1}\label{sinAcosAtanAnoaidanihadonoyounakankeigaaruka1}\] が成り立つ。また、三平方の定理より $a^2+b^2=c^2$ であるから、これに $a=c\sin{A}$ と $b=c\cos{A}$ を代入して \begin{align} &\left(c\sin{A}\right)^2+\left(c\cos{A}\right)^2=c^2\\ \Leftrightarrow\ &c^2\left(\sin{A}\right)^2+c^2\left(\cos{A}\right)^2=c^2\\ \Leftrightarrow\ &\left(\sin{A}\right)^2+\left(\cos{A}\right)^2=1 \end{align} が成り立つ。普通 $(\sin{A})^2$、$(\cos{A})^2$、$(\tan{A})^2$ などは、それぞれ $\sin^2A$、$\cos^2A$、$\tan^2A$ と書く。

つまり \[\sin^2{A}+\cos^2{A}=1\tag{2}\label{sinAcosAtanAnoaidanihadonoyounakankeigaaruka2}\] が成り立つ。

吹き出し$\sin{A}$、$\cos{A}$、$\tan{A}$ の間にはどのような関係があるか

3 と4 は記憶しなくても、例題でみたように1 と2 からすぐに導ける。2 両辺を $\sin^2A$ や $\cos^2A$ で割ればよい、ということを記憶しておこう。

三角比どうしの関係の例題を、今度はこの関係を使って解いてみよう。

$B$ から見た直角三角形

図の直角三角形において \[B=90^\circ-A\] であるから、以下のように表すことができる。 \begin{align} &\sin(90^\circ-A)=\sin{B}=\dfrac{b}{c}=\cos{A}\\ &\cos(90^\circ-A)=\cos{B}=\dfrac{a}{c}=\sin{A}\\ &\tan(90^\circ-A)=\tan{B}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\tan{A}} \end{align}

吹き出し$90^\circ-A$ の三角比

「$90^\circ-A$ の三角比は $A$ だけを使った三角比で表せる」ということを覚えておくのが大切であり、この式は暗記するようなものではない。必要なときに素早く導出できるようにしておこう。

これより、$45^\circ\lt{A}\lt90^\circ$ の三角比は、$0^\circ\lt{A}\lt45^\circ$ の三角比になおすことができる。

次の例題で確かめてみよう。

直角三角形

次の図の三角形において、$\tan{A}=\dfrac{a}{b}$ であるが、この式の両辺に $b$ を掛けて \[b\tan{A}=a\] という式を得る。$\sin$、$\cos$ についても同じようにして \[c\sin{A}=a,~c\cos{A}=b\] となる。これらの式は、三角比から辺の長さを求めるときに用いられる。