補集合の要素の個数
“着目しないもの”に着目する
白丸と黒丸
図の中にある白丸(○)の個数を数えるには、実際に白丸の個数を数えるのではなく、丸が横に12個、縦に10個、計120個並んでいるのを確認し、そこから黒丸(●)の個数を引くのが よい。つまり \begin{align} &(白丸の個数)=12\times10-8=112\\ &\quad\therefore~112個 \end{align} と数えるのがよい。
このように、着目しないもの(●)の個数を全体の個数から引くことによって、着目するもの(○)の個数を数えることができ、集合では次のようにまとめられる。
補集合の要素の個数について
全体集合と補集合
全体集合を $U$ とする。集合 $A$ と、その補集合 $\overline{A}$ について \[A\cup\overline{A}=U~,~A\cap\overline{A}=\emptyset\] であるから、包含と排除の原理（2集合版）より \[n(U)=n(A)+n(\overline{A})\] となる。
補集合の要素の個数
全体集合を $U$ とする集合 $A$ と、その補集合 $\overline{A}$ に関して \[n(\overline{A})=n(U)-n(A)\] が成り立つ。
吹き出し補集合の要素の個数について
このことは、ある集合 $A$ の要素の個数を数えるのが大変な場合、むしろ $A$ の補集合 $\overline{A}$ の要素の個数に着目すべきである、ということを教えてくれる。
補集合の要素の個数と包含と排除の原理
総世帯数が $191$ のある地区では、新聞をとっている世帯が $170$ ある。このうちA新聞をとっている世帯は $89$、B新聞をとっている世帯は $108$ ある。その他の新聞はこの地区には無いものとして、以下の問に答えよ。
- この地区では新聞をとっていない世帯はいくつか。
- A、B両方の新聞をとっている世帯はいくつか。
- $U:$｢ある地区の総世帯｣
- $A:$｢A新聞をとっている世帯｣
- $B:$｢B新聞をとっている世帯｣
- 新聞をとっている世帯は $A\cup{B}$ と表せるので、新聞をとっていない世帯は $\overline{A\cup{B}}$ となる。
$\blacktriangleleft$ 補集合の要素の個数参照\begin{align} &n(\overline{A\cup{B}})\\ =&n(U)-n(A\cup{B})\\ =&191-170\\ =&\boldsymbol{21} \end{align}
- A、B両方の新聞をとっている世帯は $A\cap{B}$ と表される。和集合の要素の個数に関して
$\blacktriangleleft$ 包含と排除の原理（2集合版）参照\[n(A\cup{B})=n(A)+n(B)-n(A\cap{B})\] が成り立つから \begin{align} n(A\cap{B})=&\ n(A)+n(B)-n(A\cup{B})\\ =&\ 89+108-170=\boldsymbol{27} \end{align}
補集合の要素の個数と包含と排除の原理（3集合版）
$300$ 人の高校生にA、B、Cの3種のテストを行った。Aテストに $102$ 人、Bテストに $152$ 人、Cテストに $160$ 人が合格したが、これらの中で、A、B両テストに $42$ 人、B、C両テストに $62$ 人、C、A両テストに $32$ 人が合格している。3種のテストのどれにも合格しなかった人は $10$ 人であった。このとき、3種のテストにすべて合格した人は何人か。
- $U:$｢テストを受けた高校生全員｣
- $A:$｢Aテストに合格した人｣
- $B:$｢Bテストに合格した人｣
- $C:$｢Cテストに合格した人｣