2次関数をもちいて2次不等式を解く

$\fbox{A}=\boldsymbol{0}$、$\fbox{B}=\boldsymbol{2}$、$\fbox{C}=\boldsymbol{2}$
${\blacktriangleleft}~\fbox{B}$、$\fbox{C}$の計算 $-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2 -1\cdot2}=2\pm\sqrt{2}$

$y=x^2-2x-3$ とおくと、判別式 $D$ は \[D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=16\gt0\] となるので、この放物線は $x$ 軸と2つの共有点をもつ。その共有点の $x$ 座標は \begin{align} &x^2-2x-3=0\\ \Leftrightarrow~&(x+1)(x-3)=0\\ \Leftrightarrow~&x=-1,~3 \end{align} より、$x$ 軸との交点の $x$ 座標は $-1$、$3$ とわかる。

これより、$y=x^2-2x-3$ のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\gt0$ となるのは $x\lt-1$ または $3\lt{x}$ のときであるとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\gt0$ の解は \[\boldsymbol{x\lt-1~,~3\lt{x}}\] となる。

2. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\geqq0$ となるのは $x\leqq-1$ または $3\leqq{x}$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\geqq0$ の解は \[\boldsymbol{x\leqq-1~,~3\leqq{x}}\] となる。

3. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\lt0$ となるのは $-1\lt{x}\lt3$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\lt0$ の解は \[\boldsymbol{-1\lt{x}\lt3}\] となる。

4. 

   右図より、$\overbrace{x^2-2x-3}^{y の積}\leqq0$ となるのは $-1\leqq{x}\leqq3$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-2x-3\leqq0$ の解は \[\boldsymbol{-1\leqq{x}\leqq3}\] となる。

$y=4x^2-4x+1$ とおくと、判別式 $D$ は \[D=(-4)^2-4\cdot4\cdot1=0\] となるので、この放物線は $x$ 軸と接する。

さらに、2次方程式 $4x^2-4x+1=0$ を解くと \begin{align} &4x^2-4x+1=0\\ \Leftrightarrow~&(2x-1)^2=0\\ \therefore~~&x=\dfrac{1}{2} \end{align} となるので、$x$ 軸との共有点（接点）の $x$ 座標は $\dfrac{1}{2}$ とわかる。

これより、$y=4x^2-4x+1$ のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、$4x^2-4x+1\gt0$ となるのは $x\lt\dfrac{1}{2}$ または $\dfrac{1}{2}\lt{x}$ のときとわかる。

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\gt0$ の解は \[\boldsymbol{x\lt\dfrac{1}{2}~,~\dfrac{1}{2}\lt{x}}\] となる。

   ${\blacktriangleleft}$ 「$x$ は $\dfrac{1}{2}$ 以外のすべての実数」という答え方でもよい
2. 

   右図より、すべての実数 $x$ で $4x^2-4x+1\geqq0$ となるのがわかる。

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\geqq0$ の解はすべての実数となる。

3. 

   右図より、$4x^2-4x+1\lt0$ となる $x$ は存在しないのがわかる。

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\lt0$ の解は存在しない。

4. 右図より、$4x^2-4x+1\leqq0$ となるのは $\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}$ のときのみとわかる。

   

   よって、2次不等式 $4x^2-4x+1\leqq0$ の解は \[\boldsymbol{x=\dfrac{1}{2}}\] となる。

$y=x^2-4x+5$ とおくと、判別式 $D$ は \[D=(-4)^2-4\cdot1\cdot5=-4\lt0\] となり、この放物線は $x$ 軸と交点をもたないので、$y=x^2-4x+5$ のグラフは右図のようになる。

以下、このグラフをもとに2次不等式を解く。

1. 

   右図より、すべての実数 $x$ で $x^2-4x+5\gt0$ となるのがわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\gt0$ の解はすべての実数となる。

2. 

   右図より、すべての実数 $x$ で $x^2-4x+5\geqq0$ となるのがわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\geqq0$ の解はすべての実数となる。

3. 

   右図より、$x^2-4x+5\lt0$ となる $x$ は存在しないのがわかる

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\lt0$ の解は存在しない。

4. 

   右図より、$x^2-4x+5\leqq0$ となる $x$ は存在しないのがわかる。

   よって、2次不等式 $x^2-4x+5\leqq0$ の解は存在しない。

1. 
   $y=(x-3)(x+2)$ のグラフを描けば右図のようになるので、$\boldsymbol{-2\leqq{x}\leqq3}$ が解となる。
2. 
   $x^2-6x+8$ は整数の範囲で因数分解でき
   ${\blacktriangleleft}~y=x^2-6x+8$ の判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=(-3)^2-1\cdot8\gt0$ \begin{align} &x^2-6x+8\lt0\\ \Leftrightarrow~&(x-2)(x-4)\lt0 \end{align} $y=(x-2)(x-4)$ のグラフを描けば右図のようになるので、$\boldsymbol{2\lt{x}\lt4}$ が解となる。
3. 
   式全体に $-1$ を掛けて
   ${\blacktriangleleft}~x^2$ の係数は正にした方がよい \begin{align} &-2x^2-x-6\geqq0\\ \Leftrightarrow~&2x^2+x+6\leqq0 \end{align} $y=2x^2+x+6$ は判別式 $D=1^2-4\cdot2\cdot6\lt0$ であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式を満たす実数は存在しないので、解はない。
4. 
   移項して整理すると \begin{align} &x^2-x-6\geqq2x-4\\ \Leftrightarrow~&x^2-3x-2\geqq0 \end{align} $x^2-3x-2$ は簡単には因数分解できないので、
   ${\blacktriangleleft}~y=x^2-3x-2$ の判別式を $D$ とすると $D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-2)\gt0$
   2次方程式 $x^2-3x-2=0$ の解 \begin{align} x=&\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2}\\ =&\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2} \end{align} ${\blacktriangleleft}$ 2次方程式の解の公式参照
   を利用して \begin{align} &x^2-3x-2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&\left(x-\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right)\\ &\qquad\left(x-\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&\boldsymbol{x\leqq\frac{3-\sqrt{17}}{2},~~\frac{3+\sqrt{17}}{2}\leqq{x}} \end{align} が解となる。
5. 
   移項して整理すると \begin{align} &-x^2-x-9\lt{x}-3\\ \Leftrightarrow~&-x^2-2x-6\lt0\\ \Leftrightarrow~&x^2+2x+6\gt0 \end{align} ${\blacktriangleleft}~x^2$ の係数は正にした方がよい
   $y=x^2+2x+6$ の判別式 $D$ について $\dfrac{D}{4}=1^2-1\cdot6\lt0$ であるので、グラフは右図のようになる。つまり、この不等式は常に正しいので、解はすべての実数。
6. 
   両辺を6倍して整理すると \begin{align} &\dfrac{1}{2}x^2-x-\dfrac{5}{3}\geqq\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x+1\\ \Leftrightarrow~&3x^2-6x-10\geqq4x^2+2x+6\\ \Leftrightarrow~&x^2+8x+16\leqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+4)^2\leqq0 \end{align} $y=(x+4)^2$ のグラフを描くと右図のようになる。よって、この不等式の解は $\boldsymbol{x=-4}$。

1. • 

     まず、$(1)$ を解くと \begin{align} &x^2-5x-14\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x+2)(x-7)\geqq0\\ \Leftrightarrow~&x\leqq-2~,~7\leqq{x} \end{align} 最後の式を $(1)'$ とする。

   • 

     次に、$(2)$ を解くと \begin{align} &2x^2-11x-40\lt0\\ \Leftrightarrow~&(2x+5)(x-8)\lt0\\ \Leftrightarrow~&-\dfrac{5}{2}\lt{x}\lt8 \end{align} 最後の式を $(2)'$ とする。

   以上 $(1)'$、$(2)'$ を共通して満たす $x$ は \[\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}\lt{x}\leqq-2~,~7\leqq{x}\lt8}\]

   
2. • 

     まず、$(3)$ を解くと \begin{align} &25-9x^2\gt0\\ \Leftrightarrow~&9x^2-25\lt0\\ \Leftrightarrow~&(3x+5)(3x-5)\lt0\\ \Leftrightarrow~&-\dfrac{5}{3}\lt{x}\lt\dfrac{5}{3} \end{align} ${\blacktriangleleft}~x^2$ の係数が正になるように両辺に $-1$ を掛けた
     最後の式を $(3)'$ とする。

   • 

     次に、$(4)$ を解くのだが、これは簡単には因数分解できないので、2次方程式 $3x^2+4x-6=0$ の解 \begin{align} x=&\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-3\cdot(-6)}}{3}\\ =&\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3} \end{align} ${\blacktriangleleft}~x$ の係数が偶数の場合の解の公式参照
     を利用して \begin{align} &3x^2+4x-6\lt0\\ \Leftrightarrow~&\left\{x-\left(\dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\right)\right\}\\ &\qquad\left\{x-\left(\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}\right)\right\}\lt0\\ \Leftrightarrow~&\dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}\lt{x}\lt\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3} \end{align} 最後の式を $(4)'$ とする。

   以上 $(3)'$、$(4)'$ を共通して満たす $x$ は \[\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}\lt{x}\lt\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}}\]

   
   ${\blacktriangleleft}~4\lt\sqrt{22}\lt5$ より
   $-2+\sqrt{22}=2.\cdots$ なので
   $\dfrac{-2+\sqrt{22}}{3}=0.\cdots$
   $-2-\sqrt{22}=-6.\cdots$ なので
   $\dfrac{-2-\sqrt{22}}{3}=-2.\cdots$

まず、$x^2+y^2=1$ を変形して
${\blacktriangleleft}~L=x+y^2-1$ から $y$ を消去することが目的 \[y^2=1-x^2\tag{1}\label{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}\] $\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ を $L=x+y^2-1$ に代入し、平方完成すると
${\blacktriangleleft}$ 最大・最小を求めたいので平方完成する \begin{align} L&=x+(1-x^2)-1\\ &=-x^2+x\\ &=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4} \end{align} 一方、$\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ において、$y^2\geqq0$ なので
${\blacktriangleleft}$ 条件に2乗などがあるときは範囲に注意する \begin{align} &1-x^2\geqq0\\ \Leftrightarrow~&(x-1)(x+1)\leqq0\\ \therefore~&-1\leqq{x}\leqq1 \end{align} である。つまり \begin{align} L=f(x)&=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\\ &(-1\leqq{x}\leqq1)\tag{2}\label{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku2} \end{align}

図から、最大値は \[f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\] であり、$x=\dfrac{1}{2}$ を $\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ に代入して $y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

また、最小値は \[f(-1)=-2\] であり、$x=-1$ を $\eqref{2jikansuwomotiite2jifutosikiwotoku1}$ に代入して $y=0$ となる。まとめると

• $\boldsymbol{(x,~y)=\left(\dfrac{1}{2},~\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ のとき最大値$\boldsymbol{\dfrac{1}{4}}$
• $\boldsymbol{(x,~y)=(-1,~0)}$ のとき最小値 $\boldsymbol{-2}$