1次式の積

$(ax+b)(cx+d)$ を展開すると

式の展開

式の展開

であるから、$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$ が成り立つ。

これを使い、たとえば $(2x+3y)(5x-4y)$ は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方 \begin{align} &(2x+3y)(5x-4y)\\ &=\underbrace{10x^2+(-8y+15y)x+(3y)\cdot(-4y)}_{慣れると省略できる}\\ &=10x^2+7xy-12y^2 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方 \begin{align} &(2x+3y)(5x-4y)\\ &=10x^2-8xy+15yx-12y^2\\ &=10x^2+7xy-12y^2 \end{align}

1次式の積の公式

4.$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$

吹き出し1次式の積

この公式 $x$ の項 $(ad+bc)$ は「（外側の項の掛け算）+（内側の項の掛け算）」と覚えると よい。

多項式の展開～1次式の積の公式

次の多項式を展開し整理せよ。

  1. $(x+2)(2x+1)$
  2. $(2x+3)(3x-2)$
  3. $(5x-3y)(2x-y)$
  4. $\left(\dfrac{1}{3}x-2y\right)\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)$

  1. $(x+2)(2x+1)=\boldsymbol{2x^2+5x+2}$
  2. $(2x+3)(3x-2)=\boldsymbol{6x^2+5x-6}$
  3. \begin{align} &(5x-3y)(2x-y)\\ =&\boldsymbol{10x^2-11xy+3y^2} \end{align}
  4. \begin{align} &\left(\dfrac{1}{3}x-2y\right)\left(2x-\dfrac{1}{2}y\right)\\ =&\dfrac{2}{3}x^2+\left(-\dfrac{1}{6}-4\right)xy+y^2\\ =&\boldsymbol{\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{25}{6}xy+y^2} \end{align}