立法の公式1

$(a+b)^3$ を展開すると

3乗の式の展開

3乗の式の展開

であるから、$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ が成り立つ。

これを使い、たとえば $(2x+y)^3$ は次のように計算する。

  1. うまい計算のやり方（○） \begin{align} &(2x+y)^3\\ =&\underbrace{(2x)^3+3\cdot(2x)^2 y+3\cdot(2x) y^2+y^3}_{慣れると省略できる}\\ =&8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3 \end{align}
  2. 普通の計算のやり方（×） \begin{align} &(2x+y)^3\\ =&(2x+y)(2x+y)^2\\ =&(2x+y)(4x^2+4xy+y^2)\\ =&8x^3+8x^2y+2xy^2+4x^2y+4xy^2+y^3\\ =&8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3 \end{align}
同様に計算すれば $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ も成り立つ。

立方の公式1

5.

  • $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  • $(a−b)^3=a^3−3a^2b+3ab^2−b^3$

吹き出し立法の公式1

参考として \begin{align} &(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ &(a+b)^5\\ =&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \end{align} である。一般の $(a+b)^n$ の展開についてはFTEXT数学Aで学ぶ。