文字定数を含む2次関数の最大・最小

$y=x^2-4ax+a^2$ の右辺を平方完成すると \[y=(x-2a)^2-3a^2\] となるので、このグラフの軸は $x=2a$ である。

1. 
   放物線の軸 $x=2a$ が定義域の左端 $x=-5$ よりさらに左にあればよい。よって \[2a\lt-5~\Leftrightarrow~\boldsymbol{a\lt-\dfrac{5}{2}}\]
   • $y$ 座標が最大となるのは定義域の右端なので、最大値 $\boldsymbol{a^2-20a+25}$（$x=5$ のとき）
   • $y$ 座標が最小となるのは定義域の左端なので、最小値 $\boldsymbol{a^2+20a+25}$（$x=-5$ のとき）
2. 
   放物線の軸 $x=2a$ が定義域の右端 $x=5$ よりさらに右にあればよい。 \[5\lt2a~\Leftrightarrow~\boldsymbol{\dfrac{5}{2}\lt{a}}\]
   • $y$ 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 $\boldsymbol{a^2+20a+25}$（$x=-5$ のとき）
   • $y$ 座標が最小となるのは定義域の右端なので、最小値 $\boldsymbol{a^2-20a+25}$（$x=5$ のとき）
3. 
   放物線の軸 $x=2a$ が定義域の中にあるためには \[-5\leqq2a\leqq5~\Leftrightarrow~\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}\leqq{a}\leqq\dfrac{5}{2}}\] さらに、定義域の左端で $y$ 座標が最大となるには、軸が定義域の右半分に存在すればよい。つまり \[0\leqq2a\leqq5~\Leftrightarrow~\boldsymbol{0\leqq{a}\leqq\dfrac{5}{2}}\]
   • $y$ 座標が最大となるのは定義域の左端なので、最大値 $\boldsymbol{a^2+20a+25}$（$x=-5$ のとき）
   • $y$ 座標が最小となるのは $C$ の頂点なので、最小値 $\boldsymbol{-3a^2}$（$x=2a$ のとき）

$y=f(x)$ を平方完成して \[y=(x-2)^2+1\] となるので、このグラフをもとに問に答える。

1. 1. 
      $\boldsymbol{0\lt{a}\lt2}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この定義域内では、関数の値は減少するから、最小値は $f(a)=a^2-4a+5$ となる。
   2. 
      $\boldsymbol{2\leqq{a}}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域内に軸 $x=2$ が含まれるから、最小値は $f(2)=1$ となる。
   以上i、iiをまとめると
   • $\boldsymbol{0\lt{a}\lt2}$ のとき、最小値 $f(a)=\boldsymbol{a^2-4a+5}$
   • $\boldsymbol{2\leqq{a}}$ のとき、最小値 $f(2)=\boldsymbol{1}$
2. 1. 
      $\boldsymbol{0\lt{a}\lt4}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の $y$ 座標を比べると、左端の方が大きい。よって、最大値は $f(0)=5$ となる。
   2. 
      $\boldsymbol{4\leqq{a}}$ のとき $0\leqq{x}\leqq{a}$ におけるこの関数のグラフは、右図の放物線の実線部分となる。この場合には、定義域の両端の $y$ 座標を比べると、右端の方が大きい。よって、最大値は $f(a)=a^2-4a+5$ となる。
   以上i、iiをまとめると
   • $\boldsymbol{0\lt{a}\lt4}$ のとき、最大値 $f(0)=\boldsymbol{5}$
   • $\boldsymbol{4\leqq{a}}$ のとき、最大値 $f(a)=\boldsymbol{a^2-4a+5}$