定義域が限定された2次関数の最大・最小

平方完成によって $f(x)=(x-1)^2-3$ と変形できる。

そこで $y=(x-1)^2-3$ のグラフを、与えられた定義域内で描いて考える。

1. 
   定義域が $-2\leqq{x}\leqq0$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(-2)=\boldsymbol{6}$
   • 最小値 $f(0)=\boldsymbol{-2}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 放物線は下に凸、頂点は定義域内になく、$y$ の値は定義域内で常に減少している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の右端である。
2. 
   定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(-1)=\boldsymbol{1}$
   • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-3}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内の右半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
3. 
   定義域が $0\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(2)=f(0)=\boldsymbol{-2}$
   • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-3}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内のまん中にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の両端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
4. 
   定義域が $0\leqq{x}\leqq3$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(3)=\boldsymbol{1}$
   • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-3}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内の左半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
5. 
   定義域が $3\leqq{x}\leqq4$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(4)=\boldsymbol{6}$
   • 最小値 $f(3)=\boldsymbol{1}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 頂点は定義域内になく、$y$ の値は定義域内で常に増加している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の左端である。

1. 
   $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=(x+2)^2-7\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(2)=\boldsymbol{9}$
   • 最小値 $f(-1)=\boldsymbol{-6}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 放物線は下に凸、頂点は定義域内になく、$y$ の値は定義域内で常に増加している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の左端である。
2. 
   $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\boldsymbol{-\dfrac{7}{4}}$
   • 最小値 $f(2)=\boldsymbol{-8}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 放物線は上に凸、頂点は定義域内の左半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは放物線の頂点であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の右端である。
3. 
   $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=\dfrac{1}{2}(x-1)^2-\dfrac{7}{2}\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(-1)=\boldsymbol{-\dfrac{3}{2}}$
   • 最小値 $f(1)=\boldsymbol{-\dfrac{7}{2}}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 放物線は下に凸、頂点は定義域内の右半分にある。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の左端であり、$y$ 座標が最も小さいのは放物線の頂点である。
4. 
   $f(x)$ を平方完成すると \[f(x)=-3(x-2)2+7\] 定義域が $-1\leqq{x}\leqq2$ の場合、$y=f(x)$ のグラフは右図の実線部分となるので
   • 最大値 $f(2)=\boldsymbol{7}$
   • 最小値 $f(-1)=\boldsymbol{-20}$
   となる。
   $\blacktriangleleft$ 放物線は上に凸、頂点は定義域の右端にあり、$y$ の値は定義域内で常に増加している。その結果 $y$ 座標が最も大きいのは定義域の右端であり、$y$ 座標が最も小さいのは定義域の左端である。