2次関数の最大・最小

ここでは、グラフを利用して2次関数の最大値や最小値を求める方法を考えよう。

$y=x^2-4x+5$

たとえば、$f(x)=x^2-4x+5$ は \[f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\] と変形できるので、$y=f(x)$ のグラフは点 $(2,~1)$ を頂点とする下に凸な放物線であることがわかり、グラフは右図のようになる。このグラフは、$x$ の増加に対し
「$x\lt2$ の範囲では $y$ の値が減少、$2\lt{x}$ の範囲では $y$ の値は増加」
する。そのため、$y$ の値が減少から増加に転じる $x=2$ で、最小値 $1$ をとる。また、$y$ の値はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しない。

$y=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$

また、$g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$ は \[g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-2x+1=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+3\] と変形できるので、$y=g(x)$ のグラフは点 $(-2,~3)$ を頂点とする上に凸な放物線であることがわかり、グラフは右図のようになる。このグラフは、$x$ の増加に対し
「$x\lt-2$ の範囲では $y$ の値が増加、$-2\lt{x}$ の範囲では $y$ の値は減少」
する。そのため、$y$ の値が増加から減少に転じる $x=-2$ で、最大値 $3$ をとる。また、$y$ の値はいくらでも小さくなるので、最小値は存在しない。

1. $a\gt0$ の場合
   
2. $a\lt0$ の場合