グラフ上の3点が与えられた場合
この場合は、求める2次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおいて考えるとよい。
グラフ上の3点が与えられた場合
グラフが3点 $A(1,~6)$、$B(-2,~-9)$、$C(4,~3)$ を通るような2次関数を求めよ。
求める2次関数を \[y=ax^2+bx+c\] とおく。このグラフは、3点 $A$、$B$、$C$ を通るから \begin{align} &\begin{cases} ~6=a\cdot1^2+b\cdot1+c\\ -9=a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c\\ ~3=a\cdot4^2+b\cdot4+c\\ \end{cases}\\ \Leftrightarrow &\begin{cases} ~6=a+b+c~\cdots(1)\\ -9=4a-2b+c~\cdots(2)\\ ~3=16a+4b+c~\cdots(3) \end{cases} \end{align} を得る。以下、3つの文字を含むこの連立方程式を解く。 まず、$(2)-(1)$ より、$3a-3b=-15$、よって \[a-b=-5~~~{\cdots}(4)\] さらに、$(3)-(2)$ より、$12a+6b=12$、よって \[2a+b=2~~~{\cdots}(5)\] $(4)$、$(5)$ の連立方程式を解いて $a=-1$、$b=4$。さらに、これらを $(1)$ に代入して $c=3$ を得る。 よって、求める2次関数は \[\boldsymbol{y=-x^2+4x+3}\]
吹き出し無題
2次関数の決定にあたっては、未知の2次関数を
- $y=a(x-p)^2+q$
- $y=ax^2+bx+c$
- $y=a(x-\alpha)(x-\beta)$