軸や頂点に関する条件が与えられた場合

この場合には、『$y=a(x-p)^2+q$ のグラフ』で学んだことを使って問題を解くとよい。

頂点や軸に関する条件が与えられた場合

グラフが次の条件を満たす2次関数を求めよ。

  1. 頂点が $(1,~-3)$ で、点 $(-1,~5)$ を通る。
  2. 軸が直線 $x=-2$ で、2点 $(-3,~2)$、$(0,~-1)$ を通る。

  1. グラフの頂点が $(1,~-3)$ であるから、求める2次関数は \[y=a(x-1)^2-3\] と表せる。さらに、このグラフは点 $(-1,~5)$ を通るから、$x=-1$ のとき $y=5$ となる。したがって \begin{align} &5=a(-1-1)^2-3\\ \Leftrightarrow~&5=4a-3\\ \therefore~&a=2 \end{align} よって、求める2次関数は $y=2(x-1)^2-3$、つまり \[\boldsymbol{y=2x^2-4x-1}\]

  2. 軸が直線 $x=-2$ であるから、求める2次関数は \[y=a(x+2)^2+q\] と表せる。さらに、このグラフは2点 $(-3,~2)$、$(0,~-1)$ を通るから \begin{align} &\begin{cases} 2=a(-3+2)^2+q\\ -1=a(0+2)^2+q \end{cases}\\ \Leftrightarrow~~~ &\begin{cases} 2=a+q\\ -1=4a+q \end{cases} \end{align} この連立方程式を解いて、$a=-1$、$q=3$ を得る。

    よって、求める2次関数は $y=-(x+2)^2+3$、つまり \[\boldsymbol{y=-x^2-4x-1}\]