有理数の間には必ず有理数がある

例えば $\dfrac{1}{3}$ と $\dfrac{2}{3}$ の間には \[\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{30}\lt\overset{10と20の平均値}{\dfrac{15}{30}}\lt\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}\] として、$\dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}$ という有理数が存在する。

有理数の間には必ず有理数がある

一般に、2つの有理数 $\dfrac{a}{b},~\dfrac{c}{d}~\left(\dfrac{a}{b}\lt\dfrac{c}{d}\right)$ において \[\dfrac{a}{b}=\dfrac{ad}{bd}\lt\overset{adとbcの平均値}{\dfrac{\dfrac{ad+bc}{2}}{bd}}\lt\dfrac{bc}{bd}=\dfrac{c}{d}\] とすれば、2つの有理数の間に新しい有理数を考えることができる。

こうして、2つの異なる有理数をどのように選んでも、その間に必ず有理数が存在することがわかる。

2つの異なる有理数の間には必ず有理数があるのだから、これを数直線上のいろいろな場所で考えると、数直線上には有理数に対応する点がびっしり詰まっているとわかる。