因数分解と式の値

因数分解には、式の因数を見えるようにする働きがある。 この点を生かせば、値を整数や自然数に限った次のような問題を解くことができる。

因数分解と式の値

  1. 多項式 $F=ab-3a+2b-6$ について、次の問いに答えなさい。
    1. $F$ を因数分解しなさい。
    2. $F=6$ を満たす自然数 $(a,~b)$ の組をすべて求めなさい。
  2. $mn+2m-n=3$ を満たす整数 $(m,~n)$ の組をすべて求めなさい。

    1. \begin{align} F&=a(b-3)+2(b-3)\\ &=\boldsymbol{(a+2)(b-3)}\\ &\quad\blacktriangleleft aについて整理した \end{align}

    2. a.の結果から \[(a+2)(b-3)=6\] となる自然数 $a$、$b$ を求めればよい。

      $6$ を自然数の範囲で約数の積に分解すると、$6=6\times1$、$~3\times2$、$~2\times3$、$~1\times6$ である。$a+2$ は $3$ 以上でないといけないことに注意すれば

      $\blacktriangleleft$ 自然数は、$1$ 以上の値である。 \begin{cases} a+2=6\\ b-3=1 \end{cases} \begin{cases} a+2=3\\ b-3=2 \end{cases} のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(a,~b)=(4,~4),~(1,~5)}$ と求められる。

  2. 文字 $m$、$n$ を含む項を因数分解する。 \begin{align} &mn+2m-n=3\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-n=3\\ &\quad\blacktriangleleft mで整理した\\ \Leftrightarrow~&m(n+2)-(n+2)=3-2\\ &\quad\blacktriangleleft 両辺から 2 を引いた\\ \Leftrightarrow~&(m-1)(n+2)=1 \end{align} $1=1\times1$または$(-1)\times(-1)$であるので \begin{cases} m-1=1\\ n+2=1 \end{cases} \begin{cases} m-1=-1\\ n+2=-1 \end{cases} のいずれかが必要である。それぞれの式から $\boldsymbol{(m,~n)=(2,~-1),~(0,~-3)}$ と求められる。