いろいろな因数分解

どの因数分解の手段を用いるかどうかは、だいたい次の優先順位で考えるとよい。 方針がわからないときは、ひとまずこの順序で考えてみよう。

  1. 共通因数を見つける
  2. 次数の小さい文字に注目し、降べきの順に並べる。
  3. 公式を使えないか考える。

因数分解の練習～その２～

次の式を因数分解せよ。

  1. $xy-x-y+1$
  2. $a^2+b^2+ac-bc-2ab$
  3. $x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y) $
  4. $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) $
  5. $x^4+x^2+1$
  6. $a^4+64$
  7. $x^2-xy-12y^2+5x+y+6$
  8. $2x^2-y^2-xy+3x+3y-2$

  1. \begin{align} &xy-x-y+1\\ =&(y-1)x-(y-1)\\ =&\boldsymbol{(x-1)(y-1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ $x$ と $y$ はともに1次式なので、とりあえず $x$ で整理する
  2. $c$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &(a-b)c+a^2+b^2-2ab\\ =&(a-b)c+(a-b)^2\\ =&(a-b)c+(a-b)(a-b)\\ =&\boldsymbol{(a-b)(a-b+c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ $a$ と $b$ は2次であり $c$ は1次であるから $c$ で整理する
  3. $x$ について降べきの順に整理すると \begin{align} &(y-z)x^2-(y^2-z^2)x+y^2z-yz^2\\ =&(y-z)x^2\\ &\qquad-(y+z)(y-z)x+yz(y-z)\\ =&(y-z)\left\{x^2-(y+z)x+yz\right\}\\ =&\boldsymbol{(y-z)(x-y)(x-z)} \end{align} $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $x$ で整理する
  4. $a$について降べきの順に整理すると \begin{align} &(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+b^2c-bc^2\\ =&(b-c)a^2\\ &\qquad-(b+c)(b-c)a+bc(b-c)\\ =&(b-c)\left\{a^2-(b+c)a+bc\right\}\\ =&\boldsymbol{(b-c)(a-b)(a-c)} \end{align} $\blacktriangleleft$ すべての文字は2次で等しいので、とりあえず $a$ で整理する
  5. $x^4$ と $1$ に着目して \begin{align} &x^4+1+x^2\\ =&(x^2+1)^2-2x^2+x^2\\ =&(x^2+1)^2-x^2\\ =&(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\ =&\boldsymbol{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
  6. $a^4$ と $64$ に着目して \begin{align} &(a^2+8)^2-16a^2\\ =&(a^2+8+4a)(a^2+8-4a)\\ =&\boldsymbol{(a^2+4a+8)(a^2-4a+8)} \end{align} $\blacktriangleleft$ 複2次式の因数分解参照
  7. $x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &x^2-xy-12y^2+5x+y+6\\ =&x^2+(-y+5)x-(12y^2-y-6)\\ =&x^2+(-y+5)x-(3y+2)(4y-3) \end{align} となる。これを元に表を書けば \begin{array}{c||c|} &x&3y+2\\\hline{x}&x^2&(3y+2)x\\\hline-(4y-3)&(-4y+3)x&-(3y+2)(4y-3)\\\hline \end{array} となるので、$\boldsymbol{(x-4y+3)(x+3y+2)}$ と因数分解できる。
    $\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 \begin{array}{c||c|} &x&-3y&2\\\hline{x}&x^2&3xy&2x\\\hline-4y&-4xy&-12y^2&-8y\\\hline3&3x&9y&6\\\hline \end{array} という表を作ってもよい。
  8. $x$ について降べきの順にし、定数項を因数分解すると \begin{align} &2x^2-y^2-xy+3x+3y-2\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y^2-3y+2)\\ =&2x^2+(-y+3)x-(y-1)(y-2) \end{align} となる。これを元に表を書けば \begin{array}{c||c|} &x&-(y-2)\\\hline2x&2x^2&(-2y+4)x\\\hline(y-1)&(y-1)x&-(y-1)(y-2)\\\hline \end{array} となるので、$\boldsymbol{(x-y+2)(2x+y-1)}$ と因数分解できる。
    $\blacktriangleleft$ 難度の高い因数分解 2文字2次式の因数分解参照 \begin{array}{c||c|} &x&-y&2\\\hline2x&2x^2&-2xy&4x\\\hline{y}&xy&-y^2&2y\\\hline-1&-x&y&-2\\\hline \end{array} という表を作ってもよい。