$x$の係数が偶数の場合の解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ において $b$ が偶数の場合を考えてみよう。$b=2b'$ とおいて、$ax^2+2b'x+c=0$ に解の公式を使うと次のようになる。

具体的な2次方程式 \begin{align} x^2+&8x+3=0\\ x=&\dfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot1\cdot3}}{2}\\ =&\dfrac{-8\pm\sqrt{64-12}}{2}\\ =&\dfrac{-8\pm2\sqrt{13}}{2}\\ =&-4\pm\sqrt{13}\\ &\quad\blacktriangleleft 2で約分 \end{align}
一般の2次方程式 \begin{align} ax^2+&2b'x+c=0\\ x=&\dfrac{-2b'\pm\sqrt{(2b')^2-4ac}}{2a}\\ =&\dfrac{-2b'\pm\sqrt{4{b'}^2-4ac}}{2a}\\ =&\dfrac{-2b'\pm2\sqrt{{b'}^2-ac}}{2a}\\ =&\dfrac{-b'\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a}\\ &\quad\blacktriangleleft 2で約分 \end{align}

このように、$x$ の係数が偶数の場合には、計算の最後で2で約分する必要があるので、解の公式を別に用意して、この手間をはじめから回避してしまおう。

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式

$D\geqq0$ のとき、2次方程式 $ax^2+2b'x+c=0$ の解は \[x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a}\] である($D\lt0$ のときは解は存在しない)。

2次方程式 $ax^2+2b'x+c=0$ の判別式 $D$ は $D=(2b')^2-4ac=4(b'^2-ac)$ となるので、$D$ の符号だけ判断したいときには、$D/4=b'^2-ac$ を考えると計算が少し楽になる。

次の2次方程式を解け。

$x$ の係数が偶数の場合の解の公式より \begin{align} &x^2-6x+4=0\\ \Leftrightarrow~&x=3\pm\sqrt{(-3)^2-1\cdot4}=\boldsymbol{3\pm\sqrt{5}} \end{align} \begin{align} &\blacktriangleleft ax2+2b'x+c=0の解\\ &x=\dfrac{-{b'}\pm\sqrt{{b'}^2-ac}}{a} \end{align}
方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を掛けて整理すると \begin{align} &2x^2-4\sqrt{2}x-2=0\\ \Leftrightarrow&x^2-2\sqrt{2}x-1=0 \end{align} $\blacktriangleleft$ $x^2$ の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む）
$x$ の係数が偶数の場合の解の公式より \begin{align} x&=\sqrt{2}\pm\sqrt{(-\sqrt{2})^2-1\cdot(-1)}\\ &=\boldsymbol{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}} \end{align}
方程式の両辺に $2+\sqrt{3}$ を掛けて整理すると \begin{align} &2(4-3)x^2\\ &\quad+2(-1-\sqrt{3})x+(2+\sqrt{3})=0\\ \Leftrightarrow~&2x^2-2(1+\sqrt{3})x+2+\sqrt{3}=0 \end{align} $\blacktriangleleft$ まず $x^2$ の係数は有理数にしておくとよい（解の分母を有理化しなくて済む） $x$ の係数が偶数の場合の解の公式より \begin{align} x=&\bigg\{\left(1+\sqrt{3}\right)\pm\\ &\sqrt{\left\{-\left(1+\sqrt{3}\right)\right\}^2-2\cdot\left(2+\sqrt{3}\right)}\bigg\}\\ &\div2\\ =&\dfrac{1+\sqrt{3}\pm\sqrt{4+2\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}}}{2}\\ =&\boldsymbol{\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}} \end{align}