平行移動について

関数 $y=f(x)$ のグラフ $C$ を、$x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ 平行移動したグラフ $C'$ は、一般にどのような関数で表されるのだろうか。

平行移動について

$C$ 上の点を $\text{P}(u,~v)$ が、平行移動によって $C'$ 上の点 $\text{Q}(x,~y)$ に移動したとすると \[x=u+p~,~y=v+q\] つまり、$u=x-p$、$v=y-q$ である。

ここで、$\text{P}(u,~v)$ は曲線 $C$ 上の点であるから、$v=f(u)$ を満たすので $x$、$y$ は \[y-q=f(x-p)\] を満たす。